[논문 리뷰] On Approximating Discontinuous Solutions of PDEs by Adaptive Finite Elements

Shun Zhang|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 08.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 적응형 유한요소를 사용하여 PDE의 비연속 해를 조사하며, 적응형 메esh에서 비연속적인 조각별 상수 근사가 오버슈트를 제거하는 반면, 연속적이거나 매칭되지 않은 선형 근사는 필수적으로 비영이 오버슈트를 유발함을 보여준다. 핵심 기여는 적응형 메esh 정밀화와 비연속 갈레르킨 유사 근사가 날카러운 층과 비연속성에 대해 최적임을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

For singularly perturbed problems with a small diffusion, when the transient layer is very sharp and the computational mesh is relatively coarse, the solution can be viewed as discontinuous. For both linear and nonlinear hyperbolic partial differential equations, the solution can be discontinuous. When finite element methods with piecewise polynomials are used to approximate these discontinuous solutions, numerical solutions often overshoot near a discontinuity. Can this be resolved by adaptive mesh refinements? In this paper, for a simple discontinuous function, we explicitly compute its continuous and discontinuous piecewise constant or linear projections on discontinuity matched or non-matched meshes. For the simple discontinuity-aligned mesh case, piecewise discontinuous approximations are always good. For the general non-matched case, we explain that the piecewise discontinuous constant approximation combined with adaptive mesh refinements is the best choice to achieve accuracy without overshooting. For discontinuous piecewise linear approximations, non-trivial overshootings will be observed unless the mesh is matched with discontinuity. For continuous piecewise linear approximations, the computation is based on a far away assumption, and non-trivial overshootings will always be observed under regular meshes. We calculate the explicit overshooting values for several typical cases. Several numerical tests are preformed for a singularly-perturbed reaction-diffusion equation and linear hyperbolic equations to verify our findings in the paper.

연구 동기 및 목표

• 날카러운 층을 가진 PDE의 유한요소 근사에서 비연속성 근처의 수치적 오버슈트 문제를 해결하기 위해.
• 적응형 메시 정밀화가 비연속 해의 오버슈트 문제를 해결할 수 있는지 조사하기 위해.
• 매칭된 메시와 매칭되지 않은 메시에서 연속적 대비 비연속적인 조각별 다항식 근사의 성능을 비교하기 위해.
• 초기값 문제와 반응-확산 방정식에서 표준 유한요소 방법의 오버슈트 행동을 정량화하기 위해.
• 적응형 유한요소 방법을 사용하여 비연속 해에 대한 최적의 근사 전략을 수립하기 위해.

제안 방법

• 비연속 함수의 조각별 상수 및 선형 투영을 비연속성에 매칭된 메시와 매칭되지 않은 메시에서 명시적으로 계산하기 위해.
• 정규 메시와 적응형 메시에서 연속적 및 비연속적 유한요소 근사의 행동 분석하기 위해.
• 일반적인 경우, 선형 및 상수 근사에서 오버슈트 값에 대한 명시적 표현 유도하기 위해.
• 적응형 메시 정밀화를 사용하여 요소를 비연속성에 맞추어 근사 오차와 오버슈트를 최소화하기 위해.
• 특성화된 반응-확산 방정식과 선형 초기값 문제에 대한 수치 실험을 수행하여 이론적 결과 검증하기 위해.
• 다양한 메시 정렬 조건에서 연속적, 비연속적, 선형 대비 상수 근사 간 결과 비교하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적응형 메시 정밀화는 비연속 PDE 해의 유한요소 근사에서 오버슈트를 제거할 수 있는가?
• RQ2 비연속성과 메시 정렬이 조각별 상수 및 선형 유한요소 근사의 정확도와 오버슈트에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 왜 연속적인 조각별 선형 근사는 정규 메시에서 항상 비영 오버슈트를 유발하는가?
• RQ4 대표적인 비연속 케이스에서 표준 유한요소 근사의 명시적 오버슈트 값은 무엇인가?
• RQ5 날카러운 층을 포착하는 데 있어 비연속적인 조각별 상수 근사는 연속적 또는 선형 근사보다 뛰어난가?

주요 결과

• 비연속성에 매칭된 메시에서 비연속적인 조각별 상수 근사는 오버슈트 없이 최적의 성능을 보이며 비연속 해에 적합하다.
• 매칭되지 않은 메시에서는 비연속적인 조각별 상수 근사와 함께 적응형 정밀화를 사용하면 오버슈트 없이 높은 정확도를 달성할 수 있다.
• 비연속적인 조각별 선형 근사는 메시가 비연속성과 완벽하게 일치하지 않는 한 여전히 비영 오버슈트를 보인다.
• 정규 메시에서 연속적인 조각별 선형 근사는 갈레르킨 공식화에서의 먼 곳 가정으로 인해 항상 비영 오버슈트를 유발한다.
• 핵심 케이스에 대해 명시적 오버슈트 값을 도출하여 표준 유한요소 방법의 오차 크기를 정량화하였다.
• 수치 실험을 통해 특성화된 편미분방정식과 초기값 문제에서 적응형 정밀화와 함께 비연속 상수 근사를 사용하면 오버슈트가 효과적으로 억제됨을 확인하였다.