[논문 리뷰] On biharmonic submanifolds in non-positively curved manifolds and $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds

Yong Luo|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 25.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비음성의 리만다만에서의 이차형 부분다양체가 최소가 되기 위한 충분조건을 제시하며, 평균 곡률 벡터의 $L^p$-노름 적분 조건을 도입한다. 또한 이 결과들을 $\varepsilon$-초이차형 부분다양체로 확장하여 과거의 연구를 일반화하고 곡률이 있는 환경에서 최소성에 대한 새로운 기준을 제공한다.

ABSTRACT

In the biharmonic submanifolds theory there is a generalized Chen's conjecture which states that biharmonic submanifolds in a Riemannian manifold with non-positive sectional curvature must be minimal. This conjecture turned out false by a counter example of Y-L. Ou and L. Tang in \cite{Ou-Ta}. However it remains interesting to find out sufficient conditions which guarantee this conjecture to be true. In this note we prove that: (a) Every complete biharmonic submanifolds (resp. hypersurfaces) $(M, g)$ in a Riemnnian manifold $(N, h)$ with non-positive sectional curvature (resp. Ricci curvature) which satisfies an integral condition: for some $p\in (0, +\infty)$, $\int_{M}|\vec{H}|^{p}du_g 0$ must be minimal. We also consider $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds defined recently in \cite{Wh} by G. Wheeler and prove similar results for $\varepsilon$-superbiharmonic submanifolds, which generalize the results in \cite{Wh}.

연구 동기 및 목표

• 비음성 곡률을 가진 다루에서 이차형 부분다양체에 대한 첸의 일반화된 추측의 타당성을 조사한다.
• 기존의 반례가 존재하더라도, 이차형 부분다양체가 최소가 되게 보장하는 적분 조건을 규명한다.
• 최근의 결과를 일반화하기 위해 분석을 $\varepsilon$-초이차형 부분다양체로 확장한다.
• $\vec{H}$의 $L^p$-노름을 이용한 최소성에 대한 정교한 기준을 제공한다.

제안 방법

• 분석은 부분다양체 $M$ 위에서 평균 곡률 벡터 $\vec{H}$의 $L^p$-노름을 포함한 적분 추정에 기반한다.
• 환경 다루 $N$의 곡률 가정과 보흐너 유형 공식을 적용하여 $\vec{H}$의 소멸 결과를 도출한다.
• 섹션 곡률의 음성 또는 초표면의 경우 리치 곡률의 음성을 이용해 $\vec{H}$의 성장률을 통제한다.
• $\varepsilon$-초이차형 부분다양체의 클래스를 도입하고, 이차형 방정식의 변형을 통해 분석한다.
• 완전성 가정 하에 $M$ 위에서 미분 항등식을 적분하고 발산 정리를 적용한다.
• 핵심 기술적 단계는 곡률 및 완전성 조건 하에서 $|\vec{H}|$의 $L^p$-적분 가능성 조건이 $\vec{H} \equiv 0$을 유도한다는 것을 보이는 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성 곡률 다루에서 이차형 부분다양체가 최소가 되기 위한 $|\vec{H}|$에 대한 어떤 적분 조건이 필요한가?
• RQ2 평균 곡률 벡터의 $L^p$-노름 조건 하에서 일반화된 첸의 추측을 회복할 수 있는가?
• RQ3 $\varepsilon$-초이차형 부분다양체는 비음성 곡률 환경에서 어떻게 행동하는가?
• RQ4 부분다양체의 완전성이 최소성 보장에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이러한 결과들은 이차형 부분다양체에 관한 이전 정리들을 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 비음성 섹션 곡률을 가진 리만다만에서의 완전한 이차형 부분다양체 $M$는 $\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$ 를 만족하는 어떤 $p \in (0, +\infty)$ 가 존재하면 최소이다.
• 초표면의 경우, 환경 다루 $N$이 비음성 리치 곡률을 가지며 $\int_M |\vec{H}|^p \, du_g < \infty$ 를 만족하는 어떤 $p \in (0, +\infty)$ 가 존재하면 최소성이 성립한다.
• 주어진 곡률 및 완전성 조건 하에서 $|\vec{H}|$의 $L^p$-적분 가능성은 $\vec{H} \equiv 0$을 암시한다.
• 결과는 $\varepsilon$-초이차형 부분다양체로 확장되며, [Wh]의 결과를 일반화한다.
• 논문은 $\vec{H}$에 대한 국소적 경계 조건이 필요 없이 최소성에 대한 새로운 충분조건을 제공한다.
• 부분다양체 $M$의 완전성은 논증에서 필수적이며, 이는 $\vec{H} \equiv 0$을 도출하기 위해 발산 유형 정리를 적용할 수 있도록 한다.