[논문 리뷰] On Blow-up criterion for the Nonlinear Schrödinger Equation

Dapeng Du, Yifei Wu외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $ p \geq 1 + \frac{4}{N-2} $ 인 홀수 $ p $ 를 가진 에너지临계 및 에너지 초임계 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해, 초기 에너지 $ E(u_0) < 0 $ 인 해가 유한 또는 무한 시간 내에 폭발함을 증명하는 폭발 기준을 수립한다. 증명은 보다 정밀한 비르발 유형 항등식과 정밀한 가가르도-니레버그 부등식을 사용하여 해의 $ H^1 $-노름이 유계가 아님을 보이며, 이는 이전 결과를 에너지 부하하위 영역을 초월하여 확장한다.

ABSTRACT

The blowup is studied for the nonlinear Schrödinger equation $iu_{t}+Δu+ |u|^{p-1}u=0$ with $p$ is odd and $p\ge 1+\frac 4{N-2}$ (the energy-critical or energy-supercritical case). It is shown that the solution with negative energy $E(u_0)&lt;0$ blows up in finite or infinite time. A new proof is also presented for the previous result in \cite{HoRo2}, in which a similar result but more general in a case of energy-subcritical was shown.

연구 동기 및 목표

• 에너지临계 및 에너지 초임계 영역에서 $ p \geq 1 + \frac{4}{N-2} $ 인 집중형 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대한 폭발 기준을 수립하기 위해.
• 이전에 에너지 부하하위 영역에서만 알려진 음의 에너지 폭발 결과를 더 심각한 에너지临계 및 에너지 초임계 영역으로 확장하기 위해.
• 유한 분산 또는 반지름 대칭성 가정에 의존하지 않는 새로운 증명 전략을 제공하기 위해, 보다 정밀한 비르발 유형 함수와 정밀한 가가르도-니레버그 부등식을 사용하기 위해.
• 음의 에너지를 가진 해가 $ H^1 $-노름이 유계가 아니며, 이는 유한 또는 무한 시간 내 폭발을 의미함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 비선형 슈뢰딩거 방정식의 임계 정(regularity) $ s_c = \frac{N}{2} - \frac{2}{p-1} $ 에 민감한 에너지와 기울기 노름을 포괄하는 수정된 비르발 유형 함수 $ Q(u(t)) $ 를 도입한다.
• 정밀한 가가르도-니레버그 부등식을 사용하여 $ L^{p+1} $, $ L^2 $, 및 $ H^1 $-노름 간의 관계를 설정하며, 기저 상태 $ Q $ 는 정밀한 상수로 사용된다.
• 모든 충분히 작은 $ \delta_0 $ 에 대해 $ Q(u(t)) \geq -\delta_0 \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2 $ 라는 가정을 반증하여, 초기 에너지 조건을 위반하게 된다.
• 시간에 관계없이 $ Q(u(t)) < -\delta_0 \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2 $ 이 되는 것을 증명하며, 이는 해가 $ H^1 $ 에서 유계일 수 없음을 의미한다.
• 질량과 에너지의 보존 법칙을 사용하여 최대 수명 기간 동안 모든 $ t $ 에 대해 $ \|\nabla u(t)\|_{L^2} > \epsilon_0 $ 인 균일한 하한을 도출한다. 이는 비콤팩트성을 보장한다.
• 기존의 폭발 정리(정리 2.1)를 적용하여, 이러한 비르발 유형 조건 하에 전역 $ H^1 $-해가 존재할 수 없음을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 부하하위 NLS에서 음의 에너지 초기 자료에 대한 폭발 기준을 에너지临계 및 에너지 초임계 영역으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 유한 분산 또는 반지름 대칭성 가정이 없더라도 음의 에너지 조건 하에서 폭발이 발생할 수 있는가?
• RQ3 에너지临계/초임계 영역에서 $ H^1 $-노름 폭발을 제어할 수 있는 새로운 비르발 유형 함수를 구성할 수 있는가?
• RQ4 정밀한 가가르도-니레버그 부등식이 음의 에너지 조건 하에서 기울기 노름에 대한 균일한 하한을 도출하는 데 충분한가?
• RQ5 임계 정규화 $ s_c $ 는 NLS 방정식의 폭발 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 에너지临계 및 에너지 초임계 영역에서 $ p \geq 1 + \frac{4}{N-2} $ 이고 초기 에너지 $ E(u_0) < 0 $ 인 비선형 슈뢰딩거 방정식의 해는 유한 또는 무한 시간 내에 반드시 폭발한다.
• 폭발은 $ H^1 $-노름의 무한성으로 특징지어지며, $ \sup_{t \in (-T_-, T_+)} \|u(t)\|_{H^1} = +\infty $ 로 표현된다.
• 모든 $ t $ 에 대해 최대 수명 기간 동안 $ \|\nabla u(t)\|_{L^2} > \epsilon_0 > 0 $ 인 균일한 하한이 존재하여 전역 $ H^1 $-정규성이 불가능함을 보여준다.
• 비르발 유형 함수 $ Q(u(t)) $ 는 어떤 $ \delta_0 > 0 $ 에 대해 시간에 관계없이 $ Q(u(t)) < -\delta_0 \|\nabla u(t)\|_{L^2}^2 $ 를 만족한다.
• 유한 분산 또는 반지름 대칭성 가정이 필요 없으며, 이는 이전 결과를 [9] 및 [5] 에서 에너지临계 및 에너지 초임계 영역으로 일반화한다.
• 정밀한 가가르도-니레버그 부등식과 보존 법칙을 사용한 반증을 통해, 에너지 조건 $ M(u_0)^{1-s_c} E(u_0)^{s_c} < M(Q)^{1-s_c} E(Q)^{s_c} $ 가 폭발을 암시함을 증명한다.