[논문 리뷰] On blowing up extremal Kähler manifolds

Gábor Székelyhidi|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 25.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상대적으로 안정된 점에서 극단적 켈러 다양체의 블로우업이 작은 예외적 분해수 클래스에서 극단적 계량을 갖는다는 것을 증명한다. 이는 Arezzo-Pacard-Singer의 결과를 확장한 것이다. 편미분된 순간 맵과 유한차원 장애 이론을 분석함으로써, 블로우업 점의 GIT 다중안정성은 원래 다양체가 켈러-아인슈타인일 경우 블로우업에서 일정 곡률 켈러(сscK) 계량의 존재를 암시한다.

ABSTRACT

We show that the blowup of an extremal Kahler manifold at a relatively stable point in the sense of GIT admits an extremal metric in Kahler classes that make the exceptional divisor sufficiently small, extending a result of Arezzo-Pacard-Singer. We also study the K-polystability of these blowups, sharpening a result of Stoppa in this case. As an application we show that the blowup of a Kahler-Einstein manifold at a point admits a constant scalar curvature Kahler metric in classes that make the exceptional divisor small, if it is K-polystable with respect to these classes.

연구 동기 및 목표

• 이전에 알려진 것보다 더 넓은 범위의 점들에 대해 극단적 켈러 다양체의 블로우업에서 극단적 계량의 존재 결과를 확장하는 것.
• 원래 다양체의 기하학과의 관계에서 극단적 켈러 다양체의 블로우업에 대한 K-다중안정성 조건을 정교화하는 것.
• 켈러-아인슈타인 다양체의 블로우업이 작은 예외적 분해수 클래스에서 일정 곡률 켈러(cscK) 계량을 갖는 조건을 설정하는 것.
• 순간 맵과 푸타키 불변량 분석을 통해 대수기하학적 안정성(GIT 다중안정성)과 블로우업에서의 극단적 계량 존재성 간의 연결을 수립하는 것.

제안 방법

• 원래 계량 $\omega$의 클래스 $\pi^*[\omega] - \varepsilon^2[E]$ 에서 블로우업 $Bl_pM$ 에 대해 편미분 계량 $\omega_{p,\varepsilon}$ 와 벡터장 $h_{p,\varepsilon} \in \mathfrak{g}$ 를 도입하여, 극단성 조건이 $h_{p,\varepsilon}$ 가 점 $p$ 에서 0이 되는 것과 동치임을 보인다.
• 무한차원 문제를 유한차원의 0 조건으로 줄이기 위해, 순간 맵 $\mu$ 의 변형으로서 $M \to \mathfrak{g}$ 인 사상 $h_\varepsilon$ 를 정의한다.
• 편미분 기법을 사용하여 $\mu(p) = 0$ 이면, 복소화된 궤도 $G^c \cdot p$ 내에 있는 점 $q$ 가 존재하여 $h_\varepsilon(q) = 0$ 임을 보이고, 이는 $Bl_qM$ 에서 극단적 계량 존재를 암시한다.
• Kempf-Ness 정리와 순간 맵 이론을 적용하여, $L + \delta K_M$ 의 극화에 대해 $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p) = 0$ 이 되는 것이 GIT 다중안정성을 특징짓는다는 것을 연결한다.
• 예외적 분해수의 $\varepsilon$ 에 대한 점근 전개를 사용하여 블로우업에서의 푸타키 불변량을 분석하고, $h(p) = \Delta h(p) = 0$ 이면 이 불변량이 0이 됨을 보인다.
• 레마 28 을 활용하여 리치 형식과 순간 맵의 라플라스 연산자 간의 관계를 보여주며, $\mu(p) = 0$ 과 $\Delta \mu(p) = 0$ 이면 블로우업에서 푸타키 불변량이 0이 됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 극단적 켈러 다양체의 점 $p$ 에서의 블로우업이 작은 예외적 분해수 클래스에서 극단적 계량을 갖는가?
• RQ2 블로우업 점의 GIT 다중안정성은 블로우업에서 일정 곡률 켈러 계량 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 블로우업의 K-다중안정성은 원래 다양체의 순간 맵 조건으로 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ4 순간 맵의 라플라스 연산자가 블로우업에서의 푸타키 불변량이 0이 되는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 순간 맵의 편미분은 어떤 방식으로 무한차원 문제를 유한차원 장애 문제로 축소시키는가?

주요 결과

• 점 $p$ 에서의 극단적 켈러 다양체의 블로우업은 충분히 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 클래스 $\pi^*[\omega] - \varepsilon^2[E]$ 에서 극단적 계량을 갖는다. 조건은 $\mu(p) = 0$ 이다.
• 원래 다양체가 켈러-아인슈타인이고 점 $p$ 가 GIT 다중안정성일 경우, 블로우업은 작은 예외적 분해수 클래스에서 일정 곡률 켈러(cscK) 계량을 갖는다.
• 블로우업에서의 임의의 헬름홀트 벡터장에 대한 푸타키 불변량은 클래스 $\pi^*[\omega] - \varepsilon[E]$ 에서 $h(p) = \Delta h(p) = 0$ 이면 0이 된다. 여기서 $h$ 는 벡터장의 해밀토니언이다.
• $\mu(p) = 0$ 이면 작은 $\delta$ 에 대해 $\mu(p) + \delta \Delta \mu(p) = 0$ 이 되며, 이는 $L + \delta K_M$ 에 대한 GIT 다중안정성을 특징짓는다.
• 편미분된 순간 맵을 통해 극단적 계량 존재 문제를 유한차원 문제로 축소하였고, $\mu(p) = 0$ 이면 $h_\varepsilon$ 가 $p$ 의 $G^c$-궤도 내에서 0이 되는 점이 존재함을 보였다.
• 이 결과는 스토파의 블로우업에 대한 K-다중안정성 결과를 정교화하며, 점 $p$ 의 GIT 다중안정성이 작은 $\varepsilon$ 에 대해 블로우업의 K-다중안정성을 암시함을 보였다.