[논문 리뷰] On certain constructions of p-adic families of Siegel modular forms of even genus

Hisa-aki Kawamura|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 42인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 헤이다의 p진 일반형 타원형 촉성형식의 p진 가족을 도이치-이마모구의 상승을 통해 이용하여, 짝수 차수 2n ≥ 2 및 수준 p인 헬름홀름 슈바르츠형식의 p진 해석적 가족을 구성한다. 또한, 자명한 네벤티푸스를 가진 짝수 차수의 시겔 이즈엔스타인 급수에 대해 유사한 구성법을 수립하며, 상승된 형식의 푸리에 계수들이 Λ-가족 내에서 p진으로 보간됨을 증명하고, 동일한 헤이다 가족에 속한 형식의 상승 간에 p를 모듈로로 하는 합동을 뒷받침한다.

ABSTRACT

Suppose that p > 5 is a rational prime. Starting from a well-known p-adic analytic family of ordinary elliptic cusp forms of level p due to Hida, we construct a certain p-adic analytic family of holomorphic Siegel cusp forms of arbitrary even genus and of level p associated with Hida's p-adic analytic family via the Duke-Imamoglu lifting provided by Ikeda. Moreover, we also give a similar results for the Siegel Eisenstein series of even genus with trivial Nebentypus.

연구 동기 및 목표

• 헤이다의 일반형 p진 타원형 촉성형식의 수준 p 가족을 이용하여, 짝수 차수 2n ≥ 2 및 수준 p인 시겔 촉성형식의 p진 해석적 가족을 구성한다.
• 이를 시겔 이즈엔스타인 급수의 짝수 차수 및 자명한 네벤티푸스로 확장한다.
• 상승된 형식의 푸리에 계수들이 Λ-가족 내에서 p진으로 보간됨을 보여주며, p를 모듈로로 하는 합동을 뒷받침한다.
• 동일한 헤이다 가족에 속한 타원형식의 상승 간에 p진 합동을 확인하기 위한 수치적 증거를 제공한다. 특히, 차수 4의 경우에 중점한다.

제안 방법

• 수준 p인 헤이다의 보편 일반형 p-스태빌라이즈드 신형식 가족을 도이치-이마모구 상승을 통해 차수 2n인 시겔 촉성형식으로 상승시키며, 이 과정에서 L-함수의 함자성( functoriality )을 유지한다.
• 헤이다 가족 내에서 변화하는 무게에 걸쳐 상승된 형식의 푸리에 전개를 보간함으로써 Λ-가족의 시겔 모듈라 형식을 구성한다.
• p진 가족을 형식적 q-전개로 매개변수화하기 위해 이와이사와 대각 Λ = ℤ_p[[1 + pℤ_p]]를 사용하며, 유한 평탄한 Λ-대수의 계수를 가진다.
• 상승된 형식의 계수를 계산하고 비교하기 위해, 푸리에 계수 F_l(T; X)에 대한 신타니 상승 및 유도 공식을 적용한다.
• Wolfram Mathematica 7를 이용한 수치 계산을 통해 동일한 헤이다 가족에 속한 타원형식의 상승 간에 p진 합동을 검증한다.
• 계수 차이의 노름을 분석하여 p로 나누어지는지를 확인함으로써 공통의 p진 가족 존재를 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤이다의 수준 p인 일반형 타원형 촉성형식의 p진 가족은 도이치-이마모구 상승을 통해 짝수 차수 2n ≥ 2인 시겔 촉성형식의 p진 해석적 가족으로 상승될 수 있는가?
• RQ2 상승된 시겔 촉성형식의 푸리에 계수들은 변화하는 무게에 걸쳐 q-전개를 보간하는 Λ-가족을 형성하는가?
• RQ3 동일한 상승 과정을 통해 헤이다 가족을 통해 유도된, 자명한 네벤티푸스를 가진 짝수 차수의 시겔 이즈엔스타인 급수에 대한 p진 해석적 가족이 존재하는가?
• RQ4 동일한 헤이다 가족에 속한 타원형식의 상승 간에, 소 이상 위에서 p진 합동이 성립하는가?
• RQ5 수치적 증거를 통해 동일한 헤이다 가족에서 유도된 형식의 상승 간 푸리에 계수 차이가 p로 나누어지는지 확인할 수 있는가?

주요 결과

• p = 11일 때, 행렬의 디스criminant 121에서 Lift⁴(f₁₂)와 Lift⁴(f₃₂)의 푸리에 계수 차이는 p = 11로 나누어지며, 노름은 2⁸·3⁴·5⁵·11·171449·680531·35058959130397로 인수분해된다.
• 모든 0 < T ∈ Sym₄*(ℤ)에 대해 4 ≤ 𝔻_T ≤ 457인 경우, 계수 차이 A_T(Lift⁴(f₁₂)) − A_T(Lift⁴(f₃₂))의 노름은 p = 11로 나누어지며, p를 모듈로로 하는 합동을 지지한다.
• p = 19일 때, 수치적 증거는 Lift⁴(f₂₀)와 Lift⁴(f₅₆)의 푸리에 계수 간 합동을 확인하며, 이들이 동일한 19진 해석적 가족에 속해 있음을 시사한다.
• i = 1,2,3 및 𝔻_T = 121에 대해 푸리에 계수 F₁₁(T_i; X)는 1 − 1452X + 161051X²이며, 대표자 간에 일관된 국소 L-함수 행동을 보여준다.
• 짝수 차수 2n ≥ 2인 Λ-가족의 시겔 이즈엔스타인 급수는 존재할 것으로 예상되며, (E_{k+n}^{(2n)})*의 전체 q-전개를 보간함으로써 p진 가족 존재를 뒷받침한다.
• 도이치-이마모구 상승을 통한 구성은 상승된 형식의 표준 L-함수가 L(s, Lift^{(2n)}(f), st) = ζ(s) ∏_{i=1}^{2n} L(s + k + n − i, f)를 만족함을 확인하여, 함자성을 확인한다.