[논문 리뷰] On certain semigroups of partial contractions of a finite chain

Abdullahi Umar, M. M. Zubairu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 07.

semigroups and automata theory참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 체인 $[n]$ 위의 부분 수축의 반군인 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$의 대수적 구조를 연구하며, 정규성 및 풍부성 성질에 초점을 맞춘다. 모든 $n$에 대해 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$는 왼쪽 풍부하지만 $n \geq 4$일 경우 오른쪽 풍부하지 않음을 증명한다. 또한 $\mathcal{ORCP}_n$ 내에서 강한 정규 원소의 집합이 정규 부분반군임을 규명하여 이전 연구에서 남겨진 구조적 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Let $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ be a finite chain and let $\mathcal{P}_{n}$ be the semigroup of partial transformations on $[n]$. Let $\mathcal{CP}_{n}=\{α\in \mathcal{P}_{n}: (for ~all~x,y\in Dom~α)~|xα-yα|\leq|x-y|\}$ be the subsemigroup of partial contraction mappings on $[n]$. We have shown that the semigroup $\mathcal{CP}_{n}$ and some of its subsemigroups are nonregular left abundant semigroups for all $n$ but not right abundant for $n\geq 4$.

연구 동기 및 목표

• 유한 체인 $[n]$ 위의 부분 수축 반군인 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$의 풍부성 성질(왼쪽/오른쪽)을 규명하는 것.
• $\mathcal{ORCP}_n$ 내 강한 정규 원소의 집합을 특성화하고, 이들이 부분반군을 이룬다는지 조사하는 것.
• $\mathcal{CP}_n$ 및 $\mathcal{ORCP}_n$의 비정규성에 관한 이전 결과를 확장하여, 이들이 더 넓은 풍부 반군의 범주 내에서 차지하는 위치를 규명하는 것.
• 부분 수축의 맥락에서 볼록 전이, 적합한 전이, 그리고 정규성 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$에서 그린의 관계 $\mathcal{D}^*$와 $\mathcal{J}^*$를 특성화하여 $\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$임을 보이는 것.
• 핵 $\text{Ker}~{}\alpha$와 상 $\text{Im}~{}\alpha$를 통한 부분변환의 분할 기반 표현을 사용하여 구조를 분석하는 것.
• 정규성 조건을 결정하기 위해 $\text{Ker}~{}\alpha$의 볼록 전이 및 적합한 전이를 정의하고 분석하는 것.
• 홀의 정리 1을 적용하여 등급 원소의 곱의 정규성과 등급 원소로 생성된 부분반군의 정규성 간의 연결을 맺는 것.
• 강한 정규 원소의 집합이 곱에 대해 닫혀 있음을, 겹치는 지지집합과 상의 구간에 대한 경우 분석을 통해 증명하는 것.
• 볼록 전이를 가진 등급 원소에 대해 표현 $\alpha = \left(\begin{array}{ccc}A_1 & \cdots & A_p \\ x+1 & \cdots & x+p \end{array}\right)$를 사용하여 구조적 제약 조건을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반군 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$는 모든 $n$에 대해 왼쪽 풍부한가?
• RQ2 이 반군들이 오른쪽 풍부한 $n$은 무엇이며, 왜 $n \geq 4$일 경우 오른쪽 풍부성이 성립하지 않는가?
• RQ3 $\mathcal{ORCP}_n$ 내 강한 정규 원소의 집합은 부분반군을 이룬다?
• RQ4 볼록 전이의 역할은 부분 수축의 강한 정규성을 특성화하는 데 어떤가?
• RQ5 이 반군들에서 그린의 관계 $\mathcal{D}^*$와 $\mathcal{J}^*$는 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 반군 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$는 모든 $n$에 대해 왼쪽 풍부하지만 $n \geq 4$일 경우 오른쪽 풍부하지 않다.
• $\mathcal{ORCP}_n$ 내 강한 정규 원소의 집합은 볼록 전이를 가진 원소들로 정의되며, 이는 정규 부분반군을 이룬다.
• $SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 내 두 등급 원소의 곱은 강한 정규이며, 겹치는 상의 구간에 대한 경우 분석을 통해 이를 보였다.
• $n \leq 3$일 경우 반군 $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$는 오른쪽 풍부하지만, $n \geq 4$일 경우 성립하지 않는다.
• $\mathcal{CP}_n$, $\mathcal{ORCP}_n$, $\mathcal{OCP}_n$에서 $\mathcal{D}^* = \mathcal{J}^*$ 관계가 성립하여 그린의 관계에서의 구조적 동치성을 확인한다.
• $SReg(\mathcal{ORCP}_n)$ 내 등급 원소는 $\max A_1 = a$ 및 $\min A_p = a+p$ 조건을 만족하는 형태 $\left(\begin{array}{ccccc}A_1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & A_p \\ a+1 & a+2 & \cdots & a+p-1 & a+p \end{array}\right)$를 가져야 한다.