[논문 리뷰] On corners scattering stably, nearly non-scattering interrogating waves, and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 11.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 19인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 단일 원거리장 패턴을 사용하여 산란의 역문제에 대해 날카로운 정량적 안정성 추정을 수립하며, R² 또는 R³ 내의 다면체 비균질 매질의 지지체가 안정적으로 복원될 수 있음을 증명한다. 또한, 모서리 산란은 항상 산란 에너지에 대해 양의 하한을 만들어내며, 모서리가 포함된 등방성 재료로 약한 투명성 코팅이 불가능함을 규명한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

연구 동기 및 목표

• 단일 원거리장 패턴으로부터 비균질 매질의 지지체를 복원하는 데 있어 날카로운 로그 안정성 추정을 수립하는 것.
• 모서리 산란 현상을 정량화하여 평면파 조사 하에서 산란된 원거리장 에너지에 대해 양의 하한을 증명하는 것.
• 모서리가 포함된 등방성 재료를 사용한 약한 투명성 코팅이 불가능한지 규명하는 것.
• 원거리장에서의 소형성 정보를 비균질 매질 내부로 정량적으로 확장하는 양적 리히트 유사 정리를 개발하는 것.
• 역산란 및 직접산란 문제에서 모서리 산란의 불안정성에 대한 수학적으로 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 다각형 지지체를 가진 비균질 매질에서 헬름홀츠 방정식의 고도로 발전된 분석을 활용한다.
• 로그형 경계 하에 날카로운 안정성 추정을 도출하기 위해 복소 기하학적 및 함수해석 기법을 적용한다.
• 원거리장에서의 소형성을 산란체 내부로 전파하는 데 사용되는 정량적 리히트 유사 정리를 활용한다.
• 적분 표현과 점근 전개를 사용하여 모서리 근처의 산란파 행동을 분석한다.
• 산란된 원거리장 에너지에 대한 하한을 도출하며, 이는 오직 모서리 기하학과 굴절률의 범위에만 의존한다.
• 미세국소 분석과 유일계속성 원리를 조합하여 모서리에서 거의 영산란이 발생할 수 없음을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다각형 비균질 매질의 지지체는 단일 원거리장 측정으로부터 안정적으로 복원될 수 있는가?
• RQ2 평면파로 조사된 모서리가 있는 산란체에서 산란된 원거리장 에너지에 대한 정량적 하한은 무엇인가?
• RQ3 모서리가 포함된 등방성 재료를 사용한 약한 투명성 코팅은 가능한가?
• RQ4 원거리장에서의 파동장 소형성은 비균질 매질 내부로 정량적으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 모서리와 같은 기하학적 특이점은 산란파의 안정성과 강도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• R² 또는 R³에서 단일 원거리장 패턴으로부터 다면체 비균질 매질의 지지체를 복원하는 데 있어 날카로운 로그 안정성 추정이 수립되었다.
• 평면파 조사 하에서 모서리가 있는 산란체의 산란된 원거리장 에너지는 오직 모서리 기하학과 굴절률의 상한에만 의존하는 양의 상수로 하한이 존재한다.
• 산란 에너지에 대한 이 양의 하한 덕분에, 모서리가 포함된 등방성 재료를 사용한 약한 투명성 코팅은 불가능하다.
• 원거리장에서의 파동장 소형성이 비균질 매질 내부로 이르는 것을 보여주는 새로운 정량적 리히트 유사 정리가 증명되었다.
• 이 연구 결과는 문헌에서 처음으로 정량적 역학적 모서리 산란 현상의 날카로운 정량적 버전을 제공한다.
• 분석 결과, 모서리는 본질적으로 강한 산란을 유도하므로, 최소한의 데이터로도 탐지 가능하다.