[논문 리뷰] On cylindrically bounded $H$-Hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$

G. Pacelli Bessa, Silvana M. Costa|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 09.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n \times \mathbb{R}$ 및 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 내에서 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면의 평균 곡률 |H|에 대한 날카운 하한을 강한 이차 감쇠를 갖는 리치 곡률 조건 하에서 설정한다. 오모리-요우 최대원리와 헤시안 비교를 이용하여, 초구형 공간에서는 |H| ≥ (n−1)/n, 쌍곡형 공간에서는 반지름 r < π/2인 구 내에 포함된 초곡면에 대해 |H| ≥ (n−1) cot(r)/n임을 증명한다.

ABSTRACT

We show that $H$-hypersurfaces of $\mathbb{H}^{n} imes \mathbb{R}$ contained in a vertical cylinder and with Ricci curvature with strong quadratic decay have mean curvature $| H| &gt; (n-1)/n$.

연구 동기 및 목표

• 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면에 대해 베사-몬텐그로의 컴팩트 H-초곡면 결과를 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$로 확장한다.
• 초곡면이 수직 실린더 내에 포함되어 있고 리치 곡률이 강하게 이차적으로 감쇠할 때 |H|에 대한 하한을 설정한다.
• |H| < (n−1)/n일 경우, 이러한 초곡면이 비파라볼릭임을 보인다.
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$의 경우에도 유사한 곡률 및 평균 곡률 하한을 확장한다.

제안 방법

• 강한 이차 감쇠 조건을 만족하는 리치 곡률을 갖는 완전 리만다이 공간에 대해 오모리-요우 최대원리를 적용한다.
• 헤시안 비교 정리를 적용하여 매장 함수와의 거리 함수의 라플라스 연산자를 추정한다.
• 기저 다양체의 방사형 곡률과 평균 곡률 |H|에 따라 복합 함수 f = g ◦ φ의 라플라스 연산자에 대한 하한을 유도한다.
• 실린드릭으로 유계성에 의해 복합 함수 f가 유계임을 이용하여 하모닉성과 모순을 최대원리를 통해 유도한다.
• 리치 곡률 감쇠 및 유계성 조건 하에서 |H| < (n−1)/n인 경우 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 또는 |H| < (n−1) cot(r)/n인 경우 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$에서 이러한 초곡면이 존재하지 않음을 모순을 통해 증명한다.
• 기하학적 오모리-요우 최대원리를 사용하여 기울기와 라플라스 연산자가 0으로 수렴하는 점들의 수열을 적용하여, 평균 곡률 하한이 너무 작을 경우 모순이 발생함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 컴팩트 H-초곡면에 대해 알려진 |H| ≥ (n−1)/n 하한이 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 리치 곡률이 강하게 이차적으로 감쇠할 경우, $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면의 평균 곡률은 어떻게 되는가?
• RQ3 강한 곡률 감쇠 조건 하에서 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내 완전하고 유계인 최소 표면에 대한 비존재 결과가 존재하는가?
• RQ4 |H| < (n−1)/n 이고 리치 곡률이 이차적으로 감쇠할 경우, $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내 실린드릭으로 유계인 H-초곡면이 비파라볼릭임이 성립하는가?
• RQ5 반지름 r < π/2인 지오데식 구 내에 포함된 $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 내 H-초곡면에 대해 유사한 평균 곡률 하한은 무엇인가?

주요 결과

• 리치 곡률이 강한 이차 감쇠 조건을 만족하는 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면에 대해 $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내에서는 $\sup_M |H| \geq (n-1)/n$ 이다.
• |H| < (n-1)/n 이고 리치 곡률이 강하게 이차적으로 감쇠할 경우, 그러한 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면은 존재하지 않는다.
• $\mathbb{H}^n \times \mathbb{R}$ 내 실린드릭으로 유계인 H-초곡면이 |H| < (n-1)/n일 경우, 평균 곡률이 유계이면 비파라볼릭이다.
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 내에서 초곡면의 투영이 반지름 r < π/2인 지오데식 구 내에 있을 경우, 강한 리치 곡률 감쇠 조건 하에서 $\sup_M |H| \geq (n-1)\cot(r)/n$ 이다.
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 내에서 |H| < (n-1)\cot(r)/n 이고 리치 곡률이 강하게 이차적으로 감쇠할 경우, 그러한 완전하고 실린드릭으로 유계인 H-초곡면은 존재하지 않는다.
• $\mathbb{S}^n \times \mathbb{R}$ 내에서 |H| ≤ (n-1)\cot(r)/n 이고 리치 곡률이 강한 이차 감쇠 조건을 만족할 경우, 이러한 초곡면의 비파라볼릭성은 유지된다.