[논문 리뷰] On Difference of SOS Decompositions and Difference of SOS Convex Decompositions for Polynomials

Yi-Shuai Niu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 27.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 다변수 다항식을 합의 제곱(DSOS) 및 합의 제곱 볼록(DFOSC) 다항식의 차로 표현하는 새로운 분해 방법을 제안한다. DSOS 및 DSOSC 다항식이 ℝ[𝐱]와 동형인 벡터 공간을 이룬다는 것을 증명함으로써, 저자들은 이러한 분해를 구성하기 위한 알고리즘을 개발하였으며, 이는 일반 다항식 최적화 문제를 DC 프로그래밍을 통해 효율적으로 해결할 수 있도록 한다. 구체적인 예제를 통한 검증을 통해 정확성과 성능이 입증되었다.

ABSTRACT

We propose in this paper some decomposition methods for reformulating any multivariate polynomial into DSOS (Difference of Sums-Of-Squares) and DSOSC (Difference of Sums-Of-Squares Convex) polynomials. We firstly prove that the set of all DSOS and DSOSC polynomials are vector space and equivalent to $\R[\x]$. Then, based on this equivalence, we propose several algorithms to formulate any polynomial into DSOS decompositions, and extend these approaches to generate DSOSC decompositions (i.e., DC (Difference of Convex) decompositions) which could be further used to solve general polynomial optimization via DC programming approaches. Some examples are given in each algorithm to illustrate how to use our methods in practice, and demonstrate the correctness and good performance of our decomposition techniques.

연구 동기 및 목표

• 모든 다변수 다항식을 DSOS 및 DSOSC 형태로 재구성하는 체계적인 분해 기법을 개발하기 위해.
• DSOS 및 DSOSC 다항식의 집합이 ℝ[𝐱]와 동형인 벡터 공간을 이룬다는 것을 입증하여 표현의 완전성을 확보하기 위해.
• 이러한 분해를 다항식 최적화 문제에 활용 가능한 실용적 알고리즘으로 확장하기 위해.
• DSOSC 분해에 내재된 볼록성 구조를 활용하여 일반 다항식 최적화 문제에 DC 프로그래밍 기법을 적용할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 모든 DSOS 다항식의 집합이 ℝ[𝐱]와 동형인 벡터 공간을 이룬다는 것을 증명하여, 모든 다항식이 DSOS 분해를 갖는다는 것을 보장하기 위해.
• 대수적 변환과 합의 제곱 표현을 활용하여 DSOS 분해를 계산하는 알고리즘 절차를 개발하기 위해.
• 합의 제곱 구조에 볼록성 제약 조건을 통합함으로써 DSOS 프레임워크를 DSOSC 분해로 확장하기 위해.
• DSOSC와 DC 분해 간의 등가성을 활용하여 다항식 최적화 문제에 DC 프로그래밍 기법을 적용할 수 있도록 하기 위해.
• 예제 다항식에 대해 알고리즘을 구현하고 테스트하여 정확성과 성능을 검증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 다변수 다항식은 합의 제곱(DSOS) 다항식의 차로 표현될 수 있는가?
• RQ2 DSOS 다항식의 집합은 선형 조합에 대해 닫혀 있으며 ℝ[𝐱]와 동형인가?
• RQ3 DSOS 분해는 실용적 활용을 위해 알고리즘 절차를 통해 체계적으로 계산될 수 있는가?
• RQ4 DSOS 분해는 DC 합의 제곱(DFOSC) 형태로 추가로 구조화될 수 있는가, 이를 통해 DC 프로그래밍에 활용할 수 있는가?
• RQ5 제안된 분해 방법은 일반 다항식 최적화 문제를 해결하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 모든 DSOS 다항식의 집합은 ℝ[𝐱]와 동형인 벡터 공간을 이룬다. 이는 모든 다항식이 DSOS 분해를 갖는다는 것을 보장한다.
• 모든 DSOSC 다항식의 집합 역시 ℝ[𝐱]와 동치인 벡터 공간을 이룬다. 이는 볼록성 기반 분해의 표현 완전성을 보장한다.
• 제안된 알고리즘이 테스트용 다항식에 대해 성공적으로 DSOS 및 DSOSC 분해를 생성하였으며, 정확성과 실용적 가능성은 입증되었다.
• DSOSC 분해를 통해 일반 다항식 최적화 문제에 직접적으로 DC 프로그래밍 기법을 적용할 수 있게 되었다.
• 실증적 예제를 통해 제안된 분해 기법이 실사용에서 효과적이고 양호한 성능을 보임을 확인하였다.