[논문 리뷰] On Dirichlet problem for fractional $p$-Laplacian with singular nonlinearity

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 02.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 30인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 내에서 분수형 $p$-라플라시안 방정식에 대한 양의 약한 해의 존재성과 다중성을 조사한다. 비선형성은 특이성을 가지며 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$ 형태이며, 여기서 $n > sp$, $s \in (0,1)$, $\lambda > 0$, $0 < q \leq 1$, $\alpha \leq p^*_s - 1$이다. 변분 방법과 하부-상부해 기법을 사용하여, 작은 $\lambda$에 대해 최소한 하나의 양의 해가 존재하고, $\alpha$와 $p$에 대한 특정 조건 하에서는 다중 해가 존재함을 입증하였다. 이는 국소적 $p$-라플라시안 및 분수형 라플라시안 설정에서의 결과를 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional $p$-Laplacian equation with critical growth singular nonlinearity \begin{equation*} \quad (-\De_{p})^s u = \la u^{-q} + u^α, u&gt;0 \; ext{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb{R}^n$ with smooth boundary $\partial \Om$, $n &gt; sp, s \in (0,1), \la &gt;0, 0 &lt; q \leq 1 $ and $α\le p^*_s-1$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of above problem with respect to parameter $\la$.

연구 동기 및 목표

• 분수형 $p$-라플라시안 방정식에 대한 양의 약한 해의 존재성을 입증한다. 이는 특이성과 임계 성장 비선형성을 포함한다.
• 특이 항 $\lambda u^{-q}$ 내의 매개변수 $\lambda > 0$ 가 해의 존재성에 미치는 영향을 분석한다.
• 비국소적, 특이적, 임계 성장 조건이 적용된 분수형 $p$-라플라시안 설정으로 변분 기법을 확장한다.
• 임계 지수와 특이 항이 존재하는 조건에서 네하리 다양체와 섬유화 맵 기법을 통해 해의 다중성 문제를 조사한다.

제안 방법

• 에너지 함수를 최소화하기 위해 분수형 소볼레프 공간 $X_0$ 내에서 문제와 관련된 에너지 함수를 사용하는 변분 방법이 적용된다.
• 에너지 함수의 강한 강하성과 약한 하방 연속성에 기반하여, 직접적 변분법을 통해 약한 해의 존재성을 증명한다.
• 작은 $\lambda$에 대해 하부-상부해 기법을 적용하여 해를 구성한다. 이때 분수형 $p$-라플라시안의 첫 번째 고유함수 $\phi_1$를 하한으로 사용한다.
• 네하리 다양체 접근법을 사용하여 해의 구조를 분석하고, $\alpha < p^*_s - 1$ 인 경우에 다중 해 결과를 확립한다.
• $(u + 1/n)^{-q}$로 $u^{-q}$를 대체한 정규화된 문제를 사용하여 근사 수열을 구성하고, 분포 해의 존재성을 증명한다.
• 사전 추정과 수렴 논증을 통해 정규화된 문제에서 극한을 취하여, 해가 약한 의미에서 원래 방정식을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수형 $p$-라플라시안 문제에서 특이 비선형성 $\lambda u^{-q} + u^{\alpha}$을 갖는 경우, $\lambda$, $q$, $\alpha$에 어떤 조건이 성립할 때 양의 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 임계 지수 $p^*_s = \frac{np}{n-sp}$는 비국소적 $p$-라플라시안 설정에서 해의 존재성과 다중성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 특이성과 임계 성장 효과를 동시에 다룰 수 있도록 변분 기법을 비국소적 방정식에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 첫 번째 고유함수 $\phi_1$는 어떻게 하부해를 구성하고, 작은 $\lambda$에 대해 존재성을 증명하는 데 기여하는가?
• RQ5 해는 유일한가, 아니면 $\alpha$와 $\lambda$의 특정 범위에서 다중 양의 해가 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $\lambda \in (0, \Lambda)$ 에 대해, 여기서 $\Lambda > 0$은 임계 값이며, 문제는 $X_0$ 내에서 최소한 하나의 양의 약한 해를 갖는다.
• 하부-상부해 기법을 통해 해의 존재성이 입증되며, 하한으로 $t\phi_1$를 사용하고, 더 큰 $\lambda_0$에서의 해를 이용해 상한 $\overline{u}$를 구성한다.
• 에너지 함수 $J_\lambda(u) = \frac{1}{p}\int_Q \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}} \, dxdy - \lambda \int_\Omega G_q(u) \, dx$ 는 강하성, 아래로 유계이며, 약한 하방 연속성을 가지므로 최소화자가 존재함을 보장한다.
• $0 < q < 1$ 인 경우, 적절한 하부해를 구성하고 잘라내기 기법을 사용하여, $J_\lambda$의 최소화자 $u_0$는 특이 문제 $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$의 양의 약한 해가 된다.
• $\alpha < p^*_s - 1$ 인 경우, 네하리 다양체의 구조와 섬유화 방법의 특성으로 인해 다중 양의 해가 존재한다.
• 순수한 특이 케이스인 $(-\Delta_p)^s u = \lambda u^{-q}$에 대해서도 동일한 변분 및 하부-상부해 프레임워크를 사용하여, 작은 $\lambda$에 대해 양의 해가 존재함을 증명할 수 있다.