[논문 리뷰] On distributional properties of perpetuities

Gerold Alsmeyer, Alexander Iksanov외 1명|ArXiv.org|2008. 03. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한기금 분포—임의의 가중합의 거의 확실한 극한으로 정의되는 것—가 순수한 유형: 탈락형, 절대 연속형, 또는 연속적 특이형임을 규명한다. p차 및 지수 모멘트의 유한성에 대한 필요충분조건을 제공하며, 모멘트 생성 함수의 수렴.Abscissa 공식을, 확률적 고정점 방정식과 마팅게일 기법에 기반한 새로운 비정형적 추론을 통해 유도한다.

ABSTRACT

We study probability distributions of convergent random series of a special structure, called perpetuities. By giving a new argument, we prove that such distributions are of pure type: degenerate, absolutely continuous, or continuously singular. We further provide necessary and sufficient criteria for the finiteness of $p$-moments, $p>0$ as well as exponential moments. In particular, a formula for the abscissa of convergence of the moment generating function is provided. The results are illustrated with a number of examples at the end of the article.

연구 동기 및 목표

• 일반 조건 하에서 무한기금의 분포 유형(탈락형, 절대 연속형, 또는 연속적 특이형)을 결정하는 것.
• 무한기금의 p차 모멘트 및 지수 모멘트의 유한성에 대한 필요충분조건을 설정하는 것.
• 무한기금 분포의 모멘트 생성 함수의 수렴 Abscissa에 대한 공식을 유도하는 것.
• 이전의 해석적 접근과는 다름없이, 비정형적 확률적 증명을 통해 비탈락형 무한기금의 연속성을 확립하는 것.
• 안정 분포 및 크기 편향 분포와 같은 구체적 예시를 제시하고, 분열 랜덤 워크 및 샷노이즈 과정과 같은 광범위한 확률 과정과 연결하는 것.

제안 방법

• 무한기금 $ Z_\infty $ 의 분포를 유일한 해로 특징짓기 위해, $ (M,Q) $ 가 i.i.d. 랜덤 벡터인 조건 하에서 $ Z \overset{d}{=} Q + MZ $ 의 확률적 고정점 방정식을 사용한다.
• 확률적 고정점 방정식의 구조와 마팅게일 수렴을 기반으로 한 새로운 비정형적 추론을 적용하여, $ Z_\infty $ 의 법칙이 순수한 유형임을 증명한다.
• 모멘트 생성 함수 분석과 코시-하다마르드 공식을 사용하여 수렴 Abscissa $ r(Z_\infty) $ 를 유도하며, $ s < r(Z_\infty) $ 에 대해 $ \mathbb{E}[e^{sZ_\infty}] < \infty $ 를 만족함을 보인다.
• 조건 $ \mathbb{P}(M=0)=0 $ 과 모든 $ c \in \mathbb{R} $ 에 대해 $ \mathbb{P}(Q+Mc=c)<1 $ 를 만족할 때, $ p > 0 $ 에 대해 $ \mathbb{E}|Z_\infty|^p < \infty $, $ \mathbb{E}|M|^p < 1 $, $ \mathbb{E}|Q|^p < \infty $ 가 서로 동치임을 이용한다.
• 특정 예시에서 $ Z_\infty $ 의 라플라스 변환을 분석하여 절대 연속성을 검증하고, 특히 $ \mathcal{L}(Z_\infty) $ 가 $ \mathcal{L}(Q) $ 의 크기 편향 버전일 경우 이론적 결과를 시각화한다.
• 이론을 적용하여 $ \mathbb{E}[Z_\infty^n] = \frac{n!}{a^n (1-\mathbb{E}M)(1-\mathbb{E}M^2)\cdots(1-\mathbb{E}M^n)} $ 와 같은 계승 모멘트의 정확한 표현식을 도출하고, 이를 코시-하다마르드 공식을 통해 수렴 Abscissa 를 계산하는 데 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한기금의 분포가 탈락형, 절대 연속형, 또는 연속적 특이형이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 p > 0 인 경우, 무한기금의 p차 모멘트의 유한성에 대한 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ3 무한기금의 모멘트 생성 함수의 수렴 Abscissa에 대한 정확한 공식은 무엇인가?
• RQ4 특성 함수 분석이나 모멘트 가정에 의존하지 않고도 무한기금 분포의 연속성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 모멘트 조건은 무한기금의 尾행동과 지수 모멘트의 유한성과 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 조건 $ \mathbb{P}(M=0)=0 $ 과 거의 확실한 유한성 $ |Z_\infty| < \infty $ 에서, $ Z_\infty $ 의 분포는 순수한 유형이다: 탈락형, 절대 연속형, 또는 연속적 특이형이다.
• p > 0 인 경우, $ \mathbb{E}|Z_\infty|^p < \infty $ 는 비탈락 조건 $ \mathbb{P}(Q + Mc = c) < 1 $ 이 모든 $ c \in \mathbb{R} $ 에 대해 성립할 때, $ \mathbb{E}|M|^p < 1 $ 과 $ \mathbb{E}|Q|^p < \infty $ 와 동치이다.
• 모멘트 생성 함수의 수렴 Abscissa $ r(Z_\infty) $ 는 방정식 $ \frac{\mathbb{E}[e^{sQ}]}{\mathbb{E}[e^{sQ} \mathbf{1}_{\{M=1\}}]} = 1 $ 의 유일한 양의 해이며, $ Q \sim \text{Exp}(a) $ 이고 $ M \in [0,1] $ a.s. 이면 $ r(Z_\infty) = a \mathbb{P}(M < 1) $ 와 동치이다.
• M 가 밀도를 가지며 Q 가 지수분포일 경우, $ Z_\infty $ 의 법칙은 절대 연속적이며, 그 라플라스 변환은 $ \mathbb{E}[e^{-sZ_\infty}] = e^{-b\sqrt{s}} $ 로 주어지며, 이는 색인 $ 1/2 $ 인 양의 안정 분포에 해당한다.
• 만약 $ \mathcal{L}(Z_\infty) $ 가 $ \mathcal{L}(Q) $ 의 크기 편향 버전이라면, $ \mathcal{L}(M) $ 가 절대 연속적일 경우 분포는 여전히 절대 연속적이다.
• Q ∼ Exp(a), M ∈ [0,1], E[M] < 1 인 경우, 계승 모멘트는 $ \mathbb{E}[Z_\infty^n] = \frac{n!}{a^n \prod_{k=1}^n (1 - \mathbb{E}[M^k])} $ 를 만족하며, 수렴 Abscissa 는 $ r(Z_\infty) = a \mathbb{P}(M < 1) $ 로 주어져 일반 공식을 확인한다.