[논문 리뷰] On Distributionally Robust Chance Constrained Programs with Wasserstein Distance

Weijun Xie|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 19.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 45인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 워샤프스키니 애매함 집합을 갖는 분포로 불확실성에 강건한 확률 제약 프로그램(DRCCPs)에 대해 정확하고 효율적인 포지션을 제안한다. DRCCPs가 조건부가치위험(CVaR) 제약 문제로 재구성될 수 있음을 보이며, 이로 인해 날카운 내부 및 외부 근사가 가능해지고, 이중 DRCCPs에 대해 빅-엠을 사용하지 않는 혼합정수콘형 포지션을 도입하여 기존의 빅-엠 접근 방식에 비해 계산 성능을 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

This paper studies a distributionally robust chance constrained program (DRCCP) with Wasserstein ambiguity set, where the uncertain constraints should be satisfied with a probability at least a given threshold for all the probability distributions of the uncertain parameters within a chosen Wasserstein distance from an empirical distribution. In this work, we investigate equivalent reformulations and approximations of such problems. We first show that a DRCCP can be reformulated as a conditional value-at-risk constrained optimization problem, and thus admits tight inner and outer approximations. We also show that a DRCCP of bounded feasible region is mixed integer representable by introducing big-M coefficients and additional binary variables. For a DRCCP with pure binary decision variables, by exploring the submodular structure, we show that it admits a big-M free formulation, which can be solved by a branch and cut algorithm. Finally, we present a numerical study to illustrate the effectiveness of the proposed formulations.

연구 동기 및 목표

• 워샤프스키니 애매함 집합 하에서 분포로 불확실성에 강건한 확률 제약 프로그램(DRCCPs)의 정확하고 계산적으로 실현 가능한 재구성 방법을 개발하는 것.
• 조건부가치위험(CVaR) 재구성 기반으로 DRCCPs에 대해 날카운 내부 및 외부 근사 방법을 확립하는 것.
• 빅-엠 계수와 이진 변수를 사용하여 유계 영역을 갖는 DRCCPs에 대한 혼합정수콘형 포지션을 제공하는 것.
• 이중 DRCCPs의 포지션에서 빅-엠 계수를 제거하기 위해 부분모듈라 구조를 활용하여, 분기컷 기반으로 더 효율적인 해법을 가능하게 하는 포지션을 개발하는 것.
• 수치적 실험을 통해 제안된 포지션의 효과성과 계산 성능의 열등성을 실증적으로 검증하는 것.

제안 방법

• DRCCP를 조건부가치위험(CVaR) 제약 최적화 문제로 재구성함으로써 날카운 내부 및 외부 근사가 가능하게 한다.
• 빅-엠 계수와 추가적인 이진 변수를 사용하여 유계 영역을 갖는 DRCCPs에 대해 혼합정수콘형 프로그램 포지션을 유도한다.
• 이중 DRCCPs의 경우 부분모듈라 구조를 식별하여 빅-엠 계수를 피하는 빅-엠을 사용하지 않는 포지션을 구성한다.
• 이중 DRCCPs의 빅-엠을 사용하지 않는 포지션을 해결하기 위한 분기컷 알고리즘을 제안한다.
• 표본 기반의 경험 분포를 중심으로 한 워샤프스키니 거리로 애매함 집합을 정의하여 분포 이동에 대한 강건성을 확보한다.
• 표본 기반 경험 분포를 활용하고 워샤프스키니 거리의 수렴 성질을 이용하여 통계적 일致성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워샤프스키니 애매함 집합을 갖는 분포로 불확실성에 강건한 확률 제약 프로그램은 조건부가치위험(CVaR) 제약 문제로 재구성될 수 있는가?
• RQ2 그러한 DRCCPs에 대해 가능한 가장 날카운 내부 및 외부 근사는 무엇인가?
• RQ3 유계 영역을 갖는 DRCCPs는 빅-엠 계수를 사용하여 정확히 혼합정수콘형 프로그램으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 이중 DRCCPs의 포지션에서 구조적 특성을 활용하여 빅-엠 계수를 제거하는 것이 가능한가?
• RQ5 실제로 빅-엠을 사용하지 않는 포지션의 계산 성능는 기존의 빅-엠 포지션에 비해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 빅-엠을 사용하지 않는 이중 DRCCPs 포지션은 빅-엠 포지션보다 크게 뛰어난 성능을 보이며, 평균 10분 이내에 모든 인스턴스를 해결하는 반면, 빅-엠 모델은 자주 시간 제한에 도달한다.
• 낮은 위험 수준과 작은 워샤프스키니 반경 하에서 빅-엠을 사용하지 않는 모델의 평균 솔루션 시간은 73.2초이며, 빅-엠 모델은 1467.6초이다.
• 높은 위험 수준(ε = 0.1)과 작은 δ 조건 하에서 빅-엠을 사용하지 않는 모델은 평균 131.5초 내에 인스턴스를 해결하는 반면, 빅-엠 모델은 평균 3600초(시간 제한)에 도달한다.
• 빅-엠을 사용하지 않는 모델은 O(n)개의 이진 변수와 O(N)개의 연속 변수를 사용하는 반면, 빅-엠 모델은 O(N + n)개의 이진 변수와 O(N×I)개의 연속 변수를 사용하여 모델 복잡도를 감소시킨다.
• 빅-엠을 사용하지 않는 포지션은 알려진 바와 같이 솔버 성능과 수치적 안정성에 악영향을 주는 큰 계수 값을 피한다.
• 수치 결과는 ε를 증가시키거나 δ를 감소시키면 둘 다의 포지션에서 솔루션 시간이 증가함을 확인하지만, 빅-엠을 사용하지 않는 모델은 모든 설정에서 상당히 더 빠른 성능를 유지한다.