[논문 리뷰] On fractional powers of Bessel operators

Elina Shishkina, С. М. Ситник|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 07.

Differential Equations and Boundary Problems인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 헨켈 변환 또는 멜린 변환과 같은 적분 변환에 의존하지 않고, 베셀 미분 연산자 $ B_{\nu} = D^2 + \frac{\nu}{x}D $의 분수계수 거듭제곱에 대한 명시적 적분 표현을 제안한다. 군 구조, 폭넓은 테일러 공식(초함수를 이용), 라이트 및 미탈레프레 함수와의 관계 등 주요 성질을 확립하여 분수계수 미적분학과 편미분방정식 분야의 향후 일반화에 기초를 마련한다.

ABSTRACT

This paper was published in the special issue of the Journal of Inequalities and Special Functions dedicated to Professor Ivan Dimovski's contributions to different fields of mathematics: transmutation theory, special functions, integral transforms, function theory etc. In this paper we study fractional powers of the Bessel differential operator. The fractional powers are defined explicitly in the integral form without use of integral transforms in its definitions. Some general properties of the fractional powers of the Bessel differential operator are proved and some are listed. Among them are different variations of definitions, relations with the Mellin and Hankel transforms, group property, generalized Taylor formula with Bessel operators, evaluation of resolvent integral operator in terms of the Wright or generalized Mittag--Leffler functions. At the end, some topics are indicated for further study and possible generalizations. Also the aim of the paper is to attract attention and give references to not widely known results on fractional powers of the Bessel differential operator.

연구 동기 및 목표

• 헨켈 변환을 통한 암묵적 정의에 의존하지 않고, 베셀 미분 연산자 $ B_{\nu} $의 분수계수 거듭제곱에 대한 명시적이고 변환 없는 적분 정의를 제공함으로써 기존의 한계를 극복하고자 한다.
• 기존의 분수계수 미적분학 프레임워크를 통합하고 확장하기 위해 표준 표기법과 명시적 적분 형태를 활용하여, 베셀 연산자를 통합하고자 한다.
• 군 구조, 라이트 및 미탈레프레 함수를 통한 잔여항 평가, 일반화된 테일러 전개와 같은 기초 성질을 확립하고자 한다.
• 부족하게 평가된 결과들을 부각하고, 분수계수 베셀 연산자 및 그 응용 분야에 대한 향후 연구를 촉진하기 위해 종합적인 참고문헌을 제공하고자 한다.
• 명시적 커널 표현을 통해 편미분방정식, 변환 이론, 상호작용하는 미분 연산자 분야에 새로운 응용을 가능하게 하고자 한다.

제안 방법

• 가우스 제2형하중함수 $ {}_2F_1 $를 커널로 사용하여, 오른쪽 및 왼쪽 분수계수 베셀 적분 $ B_{\nu,b-}^{-\alpha} $ 와 $ B_{\nu,a+}^{-\alpha} $ 를 정의한다.
• 분수계수 거듭제곱 $ B_{\nu} $ 를 위한 명시적 적분 연산자를 $ \frac{1}{\Gamma(2\alpha)} \int_{x}^{b} \left( \frac{y^2 - x^2}{2y} \right)^{2\alpha-1} {}_2F_1(\cdots) f(y) \, dy $ 의 형태로 구성하며, 이는 $ \alpha > 0 $ 에 대해 유효하다.
• 문헌 [7] 및 [13]–[14] 에서 알려진 적분 표현을 활용하여, 고전적 분수계수 미적분학 표기와 정의를 통합한다.
• 경계점에서의 $ B^{i-1}f $ 와 $ DB^{i-1}f $ 의 값으로 표현된 함수 전개를 통해 일반화된 테일러 공식을 수립하며, 나머지 항은 분수계수 적분 형태로 나타낸다.
• 적분 커널 분석을 통해 잔여항 연산자와 라이트 및 일반화된 미탈레프레 함수 사이의 관계를 규명한다.
• 클리포드 유형의 베셀 연산자 $ C_\nu $ 와 같은 관련 연산자로 결과를 확장하고, 변환 이론 및 상호작용하는 미분 연산자와의 관계를 논의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 베셀 연산자 $ B_{\nu} $ 의 거듭제곱을 헨켈 변환에 의존하지 않고 어떻게 명시적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 분수계수 베셀 연산자 $ B_{\nu} $ 의 거듭제곱이 만족하는 군 구조 및 구조적 항등식은 무엇인가?
• RQ3 분수계수 적분 나머지 항을 포함한, 도함수 대신 베셀 연산자를 사용한 일반화된 테일러 전개는 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 베셀 연산자 $ B_{\nu} $ 의 잔여항은 라이트 또는 일반화된 미탈레프레 함수와 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 명시적 분수계수 베셀 연산자는 어떻게 고차수 또는 혼합형 미분 연산자로 일반화할 수 있으며, 기존의 분수계수 편미분방정식과는 어떤 관계가 있는가?

주요 결과

• 분수계수 베셀 연산자 $ B_{\nu} $ 는 헨켈 또는 멜린 변환에 의존하지 않고, 가우스 제2형하중함수를 포함한 적분 커널을 통해 명시적으로 정의된다.
• 일반화된 테일러 공식(정리 8.1)은 함수를 경계점에서의 베셀 연산자 작용의 유한합과 $ B_{\nu,b-}^{-k}(B^k f) $ 를 포함한 나머지 항으로 표현하며, 계수는 초함수 함수의 형태로 나타난다.
• 클리포드 유형의 베셀 연산자 $ C_\nu $ 에 대해서는 유사한 일반화된 테일러 공식(정리 8.2)이 유도되며, 추가적으로 $ x^{-\nu} $ 와 도함수를 포함한 항이 포함된다.
• 베셀 연산자 $ B_{\nu} $ 의 잔여항은 라이트 또는 일반화된 미탈레프레 함수로 평가되며, 분수계수 미적분학에서 특수함수와의 직접적 연결을 확립한다.
• 만일 $ \nu = 1 $ 이면 커널이 고전적 레지오드 함수로 단순화되며, $ \alpha = -\frac{1}{2} $ 일 경우 분수계수 거듭제곱은 일반화된 타원함수를 유도하여, 베셀 리프시츠 변환의 명시적 정의가 가능해진다.
• 이 틀은 분수계수 베셀 연산자의 합으로 일반화 가능하며, 타원형, 쌍곡형, 초타원형 설정에서의 B–리프시츠 잠재력까지 포함하고, 양자역학에서 새로운 유형의 변환 연산자 및 상호작용하는 미분 연산자를 지원한다.