[논문 리뷰] On fully decoupled MSAV schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes model of Two-Phase Incompressible Flows

Xiaoli Li, Jie Shen|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 20.

Solidification and crystal growth phenomena참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다중 스칼라 보조 변수(MSAV) 접근법과 압력 보정을 사용하여 카인-힐리아드-내비에르-스토크스 시스템에 대해 처음으로 완전히 분리되고 선형적이며 조건부 에너지 안정적인 시간 이산화 방법을 제안한다. 이 방법들은 최적의 오차 추정과 함께 최적 수렴성을 보장하며, 각 시간 단계에서 고정 계수를 가진 타원형 방정식만을 풀면 된다.

ABSTRACT

We construct first- and second-order time discretization schemes for the Cahn-Hilliard-Navier-Stokes system based on the multiple scalar auxiliary variables approach (MSAV) approach for gradient systems and (rotational) pressure-correction for Navier-Stokes equations. These schemes are linear, fully decoupled, unconditionally energy stable, and only require solving a sequence of elliptic equations with constant coefficients at each time step. We carry out a rigorous error analysis for the first-order scheme, establishing optimal convergence rate for all relevant functions in different norms. We also provide numerical experiments to verify our theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 카인-힐리아드-내비에르-스토크스 시스템에 대해 조건부 에너지 안정성, 선형성, 완전한 분리성을 확보한 시간 이산화 방법을 개발한다.
• 기존 방법에서의 볼록 분할(비선형성 문제)과 안정화된 선형 방법(정확도 및 안정성 문제)의 한계를 극복한다.
• 일阶 방법에 대해 엄밀한 오차 추정을 수립하여 관련 노름에서 최적 수렴 속도를 확보한다.
• 각 시간 단계에서 고정 계수를 가진 타원형 방정식만을 풀도록 보장하여 효율적인 계산을 가능하게 한다.

제안 방법

• 기울기 시스템을 재구성하기 위해 다중 스칼라 보조 변수(MSAV) 접근법을 도입하여 선형이고 에너지 안정적인 방법을 달성한다.
• 내비에르-스토크스 방정식에 대해 MSAV 프레임워크를 회전 압력 보정과 융합하여 속도와 압력 갱신을 완전히 분리한다.
• 완전히 분리되고 선형적이며 조건부 에너지 안정적인 일阶 및 이阶 시간 이산화를 구성한다.
• 비선형 화학적 포텐셜과 계면장 변수를 처리하기 위해 MSAV 접근법을 활용하여 비선형 해법을 피한다.
• 각 시간 단계에서 발생하는 모든 선형 시스템이 고정 계수 연산자를 포함하도록 보장하여 효율적인 반복 해법기를 가능하게 한다.
• 이산 그론월레미를 적용하고 에너지 추정을 사용하여 수렴 오차 한계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카인-힐리아드-내비에르-스토크스 시스템에 대해 완전히 분리되고 선형적이며 조건부 에너지 안정적인 시간 이산화 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 MSAV 기반 방법이 모든 해 성분에 대해 최적 수렴 속도를 달성하는가?
• RQ3 비선형 해법을 피하면서도 조건부 에너지 안정성과 고차 정확도를 유지할 수 있는가?
• RQ4 원래 시스템에 비선형 결합이 존재함에도 불구하고 이러한 방법에 대해 엄밀한 오차 추정을 유도할 수 있는가?
• RQ5 이 방법에서 고정 계수를 가진 타원형 해법이 계산 효율성과 안정성에 미치는 영향은 어떠한가?

주요 결과

• 일阶 MSAV 방법은 속도, 압력, 계면 함수, 화학적 포텐셜에 대해 $L^2$ 및 $H^1$ 노름에서 최적 수렴 속도를 확보한다.
• 조건부 에너지 안정성이 확보되어 있으며, 이산 에너지가 각 시간 단계에서 감소하며 연속적인 에너지 법칙과 일치한다.
• 이阶 방법 역시 완전히 분리되고 조건부 에너지 안정적이며, 고차 정확도로의 확장을 가능하게 한다.
• 각 시간 단계에서 발생하는 모든 선형 시스템은 고정 계수 타원형 연산자만 포함하여 고속 해법기를 통해 효율적으로 해결할 수 있다.
• 오차 분석을 통해 일阶 방법의 최적 오차 추정을 $O( au)$로 확보하였다.
• 수치 실험을 통해 이론적 수렴 속도와 에너지 안정성이 확인되었으며, 이는 이론적 주장의 타당성을 검증한다.