[논문 리뷰] On $G$--equivariant modular categories

Alexander Kirillov|ArXiv.org|2004. 01. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 13인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 유리적 conformal field theory의 orbifold을 일반화하기 위해 G-등변 모듈러 텐서 카테고리 프레임워크를 도입한다. G-등변 분해 카테고리 C로부터 C/G라는 오르비폭의 카테고리를 정의한다. 주요 기여는 확장된 Verlinde s-행렬의 비퇴도성 조건을 통해 모듈러성을 특성화한 것으로, C가 모듈러일 필요충분조건으로 C/G가 모듈러임을 보이며, s-행렬을 통해 분해와 컨볼루션 곱을 연결하는 명시적 공식을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper, we study $G$-equivariant tensor categories for a finite group $G$. These categories were introduced by Turaev under the name of $G$-crossed categories; the motivating example of such a category is the category of twisted modules over a vertex operator algebra $V$ with a finite group of automorphisms $G$. We discuss the notion of "orbifold quotient" of such a category (in the example above, this quotient is the category of modules over the subalgebra of invariants $V^G$). We introduce an extended Verlinde algebra for a $G$-equivariant tensor category and give a simple description of the Verlinde algebra of the orbifold category in terms of the extended Verlinde algebra of the original category. We define an analog of $s,t$ matrices for the extended Verlinde algebra and show that if $s$ is invertible, then these matrices define an action of $SL_2(Z)$ on the extended Verlinde algebra. We also show that the $s$-matrix interchanges tensor product with a much simpler product ("convolution product"), which can be used to compute the tensor product multiplicities.

연구 동기 및 목표

• 유한군 작용을 이용한 유리적 conformal field theory의 오르비폭 모델에 대한 수학적 형식을 개발하기 위해.
• 표준 모듈러 카테고리를 유한군 대칭을 포함하도록 일반화한 G-등변 모듈러 텐서 카테고리를 정의하기 위해.
• 원래 카테고리 C의 모듈러 성질과 그 오르비폭 몫 C/G 사이의 대응관계를 설정하기 위해.
• 비가환 확장된 Verlinde 대수를 사용하여 G-등변 설정으로 Verlinde 공식을 일반화하기 위해.
• C의 모듈러성과 C/G의 모듈러성이 동치임을 보이며, 이는 C1의 언터위스트 섹터에 대한 함의를 수반한다.

제안 방법

• Turaev의 G-크로스드 카테고리의 일반화로, 군 작용을 가진 G-등변 분해 카테고리를 G-gradation이 있는 강한 브레이드 모노이드 카테고리로 정의한다.
• C가 비틀린 V-모듈러의 카테고리일 때, C/G를 몫 분해 카테고리로 구성하며, 이는 V G-모듈러와 대응됨을 보인다.
• 구멍이 없는 토러스에 관련된 비가환 일반화인 확장된 Verlinde 대수 eV(C)를 도입한다.
• eV(C)에 대한 s-행렬을 정의하고, 비퇴도성일 경우 SL2(Z) 작용을 유도함을 증명하며, 이는 모듈러 G-등변 카테고리를 정의한다.
• 이중형식과 s-행렬을 사용하여 텐서곱 ⊗과 컨볼루션 곱 ∗를 연결하며, s-행렬이 두 대수적 구조를 매칭시킴을 보인다.
• s-행렬의 가역성과 프로베누스-페르론 차원의 성질을 이용하여, C/G의 모듈러성이 C의 모듈러성임을 보이며, 그 반대도 마찬가지로 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 G-등변 분해 카테고리 C가 언제 모듈러이며, 이는 그 오르비폭 몫 C/G의 모듈러성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 Verlinde 대수는 어떻게 G-등변 설정으로 일반화될 수 있으며, s-행렬은 이 일반화에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 s-행렬은 확장된 Verlinde 대수의 비가환 텐서곱과 컨볼루션 곱 사이에서 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 언터위스트 섹터 C1 또는 오르비폭 카테고리 C/G의 모듈러성이 전체 G-등변 카테고리 C의 모듈러성으로 이어지는가?
• RQ5 s-행렬을 사용하여 G-등변 설정에서 분해 규칙을 계산할 수 있는가, 특히 G가 아벨일 경우에 대해 어떻게 되는가?

주요 결과

• G-등변 분해 카테고리 C가 모듈러일 필요충분조건으로 C/G가 모듈러임을 보이며, 원래 카테고리와 몫 카테고리의 모듈러성 간에 강력한 동치관계를 수립한다.
• 확장된 Verlinde 대수 eV(C)는 비가환적이며, s-행렬은 eV(C) 위의 두 대수적 구조—텐서곱 ⊗과 컨볼루션 곱 ∗—사이의 동형사상을 제공한다.
• s-행렬은 s(x ⊗ y) = D s(y) ∗ s(x) 및 s(x ∗ y) = (1/D) s(x) ⊗ s(y)를 만족하며, 이는 G-등변 설정으로 Verlinde 공식을 일반화한다.
• G가 아벨이면서 코homology 클래스가 자명할 경우, 컨볼루션 곱 ∗는 가환성이 되며, 이에 따라 s-행렬이 표준 Verlinde 공식과 유사하게 분해 규칙을 대각화할 수 있다.
• 프로베누스-페르론 차원은 p+(C) = |G| · p+(C/G) 및 p−(C) = |G| · p−(C/G)를 만족하며, 원래 카테고리와 오르비폭 카테고리의 차원을 연결한다.
• C1 = Vec일 경우, C는 어떤 ω ∈ H3(G, C×)에 대해 비틀린 G-gradation 벡터 공간의 카테고리 GVecω와 모노이드적으로 동치임을 보이며, 이는 자명한 언터위스트 섹터에서의 분류를 제공한다.