[논문 리뷰] On Global Existence and Blow-up for Damped Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation

Jianbo Cui, Jialin Hong외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 17.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 질량 임계 및 초임계 영역에서 다중성 소음이 있는 감쇠된 스토크라스틱 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 전역 존재성과 폭발 조건을 수립한다. 에너지, 운동량, 분산 항등식을 수정함으로써 날카로운 폭발 기준을 도출하고, 큰 감쇠는 거의 확실하게 유한 시간 내 폭발을 방지함으로써 초임계 영역에서 높은 확률로 전역 존재성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the well-posedness of the weakly damped stochastic nonlinear Schrödinger(NLS) equation driven by multiplicative noise. First, we show the global existence of the unique solution for the damped stochastic NLS equation in critical case. Meanwhile, the exponential integrability of the solution is proved, which implies the continuous dependence on the initial data. Then, we analyze the effect of the damped term and noise on the blow-up phenomenon. By modifying the associated energy, momentum and variance identity, we deduce a sharp blow-up condition for damped stochastic NLS equation in supercritical case. Moreover, we show that when the damped effect is large enough, the damped effect can prevent the blow-up of the solution with high probability.

연구 동기 및 목표

• 질량 임계 영역에서 감쇠된 스토크라스틱 NLS에 대한 전역 존재성과 초기 조건에 대한 연속적 의존성을 수립하기 위해.
• 질량 초임계 영역에서 감쇠와 소음의 상호작용이 유한 시간 내 폭발을 방지하는 방식을 분석하기 위해.
• 감쇠된 스토크라스틱 NLS에 대해 수정된 분산 및 에너지 항등식을 이용해 날카로운 폭발 조건을 유도하기 위해.
• 큰 감쇠가 스토크라스틱 설정에서 폭발의 가능성에 어떤 영향을 미치는지 조사하기 위해.

제안 방법

• 원래의 스트라토노비치 SDE를 무작위 PDE로 변환하기 위해 $ v(t) = e^{at - iW(t)}u(t) $ 변환을 적용한다.
• 지역 적합성은 공간 $ C(0,\tau; \mathbb{H}^1) \cap L^r(0,\tau; W^{1,2\sigma+2}) $ 에서 랜덤 스트리히르츠 추정을 사용하여 확립한다.
• 갈리아르도-니레버그 부등식의 최적 상수에 기반한 사전 추정을 사용하여 임계 영역에서의 전역 존재성을 증명한다.
• 초임계 영역에서의 폭발 행동 분석을 위해 수정된 분산 항등식과 에너지-운동량 항등식을 유도한다.
• 폭발 시간으로 정의된 정지 시간 $ \tau^* $ 를 정의하고, 그 감쇠 $ a $ 에 대한 의존성을 확률적 추정을 통해 분석한다.
• 해의 지수적 적분 가능성을 증명하여 초기 조건에 대한 연속적 의존성을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감쇠된 스토크라스틱 NLS 방정식은 질량 임계 영역에서 전역 해를 갖는가?
• RQ2 큰 감쇠는 초임계 영역에서 높은 확률로 폭발을 방지할 수 있는가?
• RQ3 감쇠된 스토크라스틱 NLS 방정식에서의 유한 시간 폭발에 대한 날카로운 조건은 무엇인가?
• RQ4 감쇠와 소음 항이 함께 해의 장기적 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 임계 영역 $ \sigma = \frac{2}{d} $ 에서 감쇠된 스토크라스틱 NLS에 대해 유일한 해의 전역 존재성이 증명되었으며, 갈리아르도-니레버그 부등식의 임계값 $ R $ 이 감쇠 하에 유지된다.
• 해는 지수적 적분 가능성을 보이며, 이는 $ \mathbb{H}^1 $-노름에서 초기 조건에 대한 연속적 의존성을 의미한다.
• 초임계 영역에서 수정된 분산 항등식과 감쇠 및 소음 효과를 통합함으로써 날카로운 폭발 조건이 도출되었다.
• 감쇠 계수 $ a $ 가 충분히 클 경우 $ \lim_{a\to\infty} \mathbb{P}(\tau^* > T) = 1 $ 이 되어, 임의의 유한 시간 $ T $ 에서 폭발이 거의 확실하게 방지됨을 의미한다.
• 소음 성분의 충분한 감쇠를 보장하기 위해 조건 $ \sum_k \|\Delta Q^{1/2}e_k\|_{L^\infty}^2 < \infty $ 이 성립해야 한다.
• 소음이 없거나 공간에 독립적인 소음일 경우, 결과는 알려진 결정론적 전역 존재성 및 폭발 기준으로 축소된다.