[논문 리뷰] On H-groups and their applications to topological homotopy groups

Ali Pakdaman, Hamid Torabi외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 27.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 연관적인 H-군—호모토피 역원을 가진 호모토피-연결 H-공간—에 대한 기본 이론을 수립한다. 이는 추상군 이론의 개념을 호모토피 범주로 확장한다. H-동형정리들을 수립하고, 준위상군의 구조를 갖는 몫 H-군을 정의하며, 이 틀을 적용하여, 작은 루프 공간에서는 위상적 기본군이 이산적이지 않음을, 국소적으로 n-연결된 공간에서는 이산적임을 보이며, 또한 프로이산 메트라이작불 위상 기본군을 갖는 공간의 한 가지만(특히 n-하와이안 유사 공간)을 규명한다.

ABSTRACT

This paper develops a basic theory of H-groups. We introduce a special quotient of H-groups and extend some algebraic constructions of topological groups to the category of H-groups and H-maps. We use these constructions to prove some advantages in topological homotopy groups. Also, we present a family of spaces that their topological fundamental groups are indiscrete topological group and find out a family of spaces whose topological fundamental group is a topological group.

연구 동기 및 목표

• H-군에 대한 기본 대수학 이론을 추상군 이론과 유사하게 수립하기 위해.
• 부분 H-군, 정규 부분 H-군, 몫과 같은 구조를 호모토피 범주로 확장하기 위해.
• 개발된 H-군 이론을 활용해 위상 호모토피 군의 위상적 성질을 분석하기 위해.
• 위상 호모토피 군이 이산적이거나 이산적이지 않은 조건를 규명하기 위해.
• 위상 기본군이 위상군(특히, 프로이산 메트라이작불 위상군)이 되는 공간의 가지만을 구성하기 위해.

제안 방법

• 호모토피 이론적 구성을 통해 코셋, 정규 부분 H-군, 몫 H-군을 도입한다.
• H-준동형사상과 H-동형사상을 정의하고, 균근 및 중심의 구성에 기반해 H-동형정리들을 수립한다.
• 몫 H-군에 위상을 부여하여 준위상군의 구조를 갖게 하여 위상적 분석이 가능하게 한다.
• 이론을 루프 공간과 반복 루프 공간에 적용하며, 특히 $ abla^n(X,x)$에 컴팩트-오픈 위상을 사용한다.
• 0-준지역적으로 단순히 연결된 공간과 국소적 n-연결성의 개념을 활용하여 $ abla_n^{top}(X,x)$의 위상적 성질을 분석한다.
• n-하와이안 유사 공간(즉, n-연결되고 국소적으로 n-연결이며 컴act CW 복합체의 와이드 합의 역극한)을 활용해, 프로이산 메트라이작불 위상 기본군을 갖는 예시를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위상적 n차 호모토피 군 $ abla_n^{top}(X,x)$가 언제 이산적인가?
• RQ2 위상 기본군 $ abla_1^{top}(X,x)$가 언제 이산적이지 않은가? 이에 영향을 주는 X의 위상적 성질은 무엇인가?
• RQ3 H-군 이론은 추상군 이론의 동형정리와 유사한 정리를 도출할 수 있는가?
• RQ4 어떤 가지만의 공간이 위상 기본군이 위상군이 되는가?
• RQ5 국소 연결성과 준지역적으로 단순히 연결된 성질은 $ abla_n^{top}(X,x)$의 이산성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 작은 루프 공간의 위상적 기본군은 모순에 기반한 기본 열린 근방 분석을 통해 이산적이지 않음을 증명한다.
• 모든 국소적으로 n-연결된 공간 $X$에 대해, 위상적 n차 호모토피 군 $ abla_n^{top}(X,x)$는 메트리시티 조건 없이도 이산적이다.
• n-하와이안 유사 공간 $X$ (n > 1)의 위상적 기본군은 프로이산 메트라이작불 위상군이며, $ abla_1^{top}( abla^{n-1}(X,x), e_x)$로 표현된다.
• 국소적으로 (n-1)-연결된 공간에 대해 $ abla_n^{top}(X,x)$는 $X$가 n-준지역적으로 단순히 연결되어 있을 때이고, 그 때에만 이산적이다.
• 국소적으로 n-연결된 공간 $X$의 루프 공간 $ abla(X,x)$는 국소적으로 (n-1)-연결이며, 이는 $ abla^n(X,x)$가 국소적으로 경로연결이 되고, 따라서 그 경로성분 공간이 이산적임을 의미한다.
• n-하와이안 유사 공간의 루프 공간의 위상적 기본군은 위상군이며, 특히 프로이산 메트라이작불 위상군이다.