[논문 리뷰] On homotopy invariance for algebras over colored PROPs

Mark Johnson, Donald Yau|ArXiv.org|2009. 05. 29.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 대칭 모나드 모델 범주 위에서 색이 있는 PROP과 그 대수에 대해 사영적 모델 범주 구조를 수립하며, 코프ibrant 색이 있는 PROP의 대수가 약한 동치에 대해 호모토피 불변임을 증명한다. 이는 Boardman-Vogt의 호모토피 불변 결과를 색이 있는 PROP으로 일반화하며, 호모토피 위상 수학적 공존장 이론이 호모토피 불변 구조임을 보여준다.

ABSTRACT

Over a monoidal model category, under some mild assumptions, we equip the categories of colored PROPs and their algebras with projective model category structures. A Boardman-Vogt style homotopy invariance result about algebras over cofibrant colored PROPs is proved. As an example, we define homotopy topological conformal field theories and observe that such structures are homotopy invariant.

연구 동기 및 목표

• 색이 있는 PROP과 그 대수에 대한 호모토피 이론을 개발한다.
• Boardman-Vogt의 호모토피 불변 결과를 작동소에서 색이 있는 PROP으로 일반화한다.
• 색이 있는 작동소의 모델 범주와 색이 있는 PROP의 모델 범주 사이에 쿠일렌 동치를 수립한다.
• 코프ibrant 색이 있는 PROP의 대수가 약한 동치에 대해 호모토피 불변임을 보인다.
• 호모토피 위상 수학적 공존장 이론을 호모토피 불변 구조로 정의하고 연구한다.

제안 방법

• 기저 범주 $\mathcal{E}$ 에서의 모델 범주 구조를 entrywise 피브레이션과 약한 동치를 사용하여 $\mathfrak{C}$-색이 있는 PROP의 범주로 옮긴다.
• 경로 객체를 구성하기 위해 코무터티브 인터벌 또는 함수적 경로 자료를 사용하고, Lifting Lemma를 통해 모델 구조의 옮김을 가능하게 한다.
• $\mathfrak{C}$-색이 있는 작동소에서 $\mathfrak{C}$-색이 있는 PROP로의 왼쪽 수반 함자 $(-)_{\text{prop}}$ 를 왼쪽 칸 확장과 $\boxdot$ 를 통한 연결을 사용하여 정의한다.
• 수반 쌍 $((-)_{\text{prop}}, U)$ 가 쿠일렌 쌍임을 증명하고, 수정된 사영적 구조 하에서 쿠일렌 동치임을 보인다.
• 등급 객체의 내부 사상 PROPs를 사용하여 색이 있는 PROP 위의 대수의 범주를 구성한다.
• 왼쪽 칸 확장의 보편 성질을 사용하여 작동소에 관련된 PROPs의 수직 및 수평 합성 연산을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 모나드 모델 범주 $\mathcal{E}$ 위에서 $\mathfrak{C}$-색이 있는 PROP의 범주가 사영적 모델 범주 구조를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 Boardman-Vogt의 호모토피 불변 원리는 작동소에서 색이 있는 PROP으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 색이 있는 작동소의 호모토피 이론과 색이 있는 PROP의 호모토피 이론 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 코프ibrant 색이 있는 PROP의 대수는 약한 동치에 대해 호모토피 불변인가?
• RQ5 호모토피 위상 수학적 공존장 이론은 정의될 수 있고, 그것이 호모토피 불변임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 대칭 모나드 모델 범주 $\mathcal{E}$ 위에서 $\mathfrak{C}$-색이 있는 PROP의 범주 $\mathbf{PROP}^{\mathfrak{C}}_{\mathcal{E}}$ 는 $\mathcal{E}$ 내에서 entrywise로 정의된 피브레이션과 약한 동치를 갖는 강력한 코프ibrant 생성 모델 범주 구조를 지닌다. 이는 $\mathcal{E}$ 에 대한 약한 가정 하에서 성립한다.
• 색이 있는 작동소와 색이 있는 PROP 사이의 수반 쌍 $((-)_{\text{prop}}, U)$ 는 쿠일렌 쌍이며, 수정된 사영적 구조 하에서 쿠일렌 동치이다.
• 코프ibrant 색이 있는 PROP의 대수는 호모토피 불변이다. 즉, PROP 간의 약한 동치는 그 대수의 범주에 약한 동치를 유도한다.
• $\mathfrak{C}$-색이 있는 PROP $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 위의 대수의 범주는 $\mathsf{O}$-대수의 범주와 동치이다.
• 적절한 색이 있는 PROP 위의 대수로 정의된 호모토피 위상 수학적 공존장 이론은 호모토피 불변 구조이다.
• $\mathsf{O}_{\text{prop}}$ 의 구성은 원래 작동소 $\mathsf{O}$ 의 호모토피 이론을 유지하며, 이에 관련된 대수들은 수반 관계 하에서 동치이다.