[논문 리뷰] On ill- and well-posedness of dissipative martingale solutions to stochastic 3D Euler equations

Martina Hofmanová, Rongchan Zhu외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 21.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 41인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 스토하스틱 3차원 비압축성 옐러르 방정식에 대해 새로운 유형의 소산성 마팅게일 해를 도입하고, 그 존재성, 약-강 유일성, 법에 의한 비유일성, 강한 마르코프 해의 존재성 및 비유일성 등을 입증한다. 볼록 적통법의 확률적 변형과 확률적 선택 기법을 사용하여, 추가적 또는 선형 승법 노이즈가 존재하더라도 잘 정의된 해의 존재성은 확률론적으로 실패함을 보이며, 스토하스틱 왜곡이 정규화 효과를 가질 수 있음을 도전한다.

ABSTRACT

We are concerned with the question of well-posedness of stochastic three dimensional incompressible Euler equations. In particular, we introduce a novel class of dissipative solutions and show that (i) existence; (ii) weak--strong uniqueness; (iii) non-uniqueness in law; (iv) existence of a strong Markov solution; (v) non-uniqueness of strong Markov solutions; all hold true within this class. Moreover, as a byproduct of (iii) we obtain existence and non-uniqueness of probabilistically strong and analytically weak solutions defined up to a stopping time and satisfying an energy inequality.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 노이즈 가정 하에 스토하스틱 3차원 비압축성 옐러르 방정식의 잘 정의된 해 문제를 다루는 것.
• 에너지 부등식을 만족하고 물리적으로 의미 있는 새로운 유형의 소산성 마팅게일 해를 도입하고 분석하는 것.
• 스토하스틱 왜곡이 3D 옐러르 방정식의 역학을 정규화할 수 있는지, 특히 비유일성과 마르코프 선택의 맥락에서 조사하는 것.
• 정지 시간까지 정의된 해를 확률적 구성 방법을 통해 전 시간 영역 [0, ∞)으로 확장하는 것.
• 강한 마르코프 해가 존재하는지, 그리고 법에 의한 유일성이 있는지 확인하는 것.

제안 방법

• 소산성 마팅게일 해를 무한히 생성하기 위해 볼록 적통법의 스토하스틱 변형을 사용하여, 에너지 등식을 만족하지 않는 해를 구성한다.
• 지정된 정지 시간까지 정의된 국소 해를 [0, ∞)에서 전 시간 해로 확장하기 위해 확률적 연장 절차에 의존한다.
• 강한 마르코프 선택 이론을 활용하여, 마팅게일 해에서 마르코프 과정을 구성하기 위해 가측 선택 정리를 사용한다.
• 에너지에 대한 이토 공식에서의 스토하스틱 적분 항을 다루기 위해 영 연산을 사용하여 스토하스틱 진화의 정규성을 확보한다.
• 법에 의한 비유일성을 입증하기 위해, 동일한 초기 분포를 가지지만 테스트 함수의 기대값이 다른 두 개의 서로 다른 확률 측도를 경로 공간에 구성한다.
• 강한 마르코프 해의 비유일성 증명은 함수 불등식을 통한 쌍대성 원리에 기반하며, 두 개의 서로 다른 해 가족에 대해 선택 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스토하스틱 3D 옐러르 방정식에 대해 소산성 마팅게일 해를 구성할 수 있으며, 이들이 약-강 유일성을 만족하는가?
• RQ2 추가적 또는 선형 승법 노이즈가 존재할 경우 3D 옐러르 방정식이 비유일성을 방지하는가, 즉 정규화 효과를 가지는가?
• RQ3 스토하스틱 3D 옐러르 시스템에 대해 여러 개의 강한 마르코프 해가 존재하는가, 그리고 만약 그렇다면 어떤 조건에서 존재하는가?
• RQ4 정지 시간까지 정의된 해를 에너지 부등식을 유지하면서 전 시간 영역으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 법에 의한 비유일성을 만족하는 확률적 강한 해와 해석적 약한 해를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 노이즈 가정, 즉 추가적 노이즈와 선형 승법 노이즈를 포함하여, 스토하스틱 3D 옐러르 방정식에 대해 소산성 마팅게일 해의 존재성이 입증된다.
• 소산성 마팅게일 해의 범주 내에서 약-강 유일성이 성립한다. 즉, 동일한 초기 자료를 가지며 하나의 해가 강한 해인 경우, 두 해는 일치한다.
• 법에 의한 비유일성이 입증된다: 특정한 초기 자료에 대해 동일한 초기 분포를 가지지만 서로 다른 법을 가진 소산성 마팅게일 해가 존재한다.
• 강한 마르코프 해는 전 시간 영역에서 존재하며, 소산성 마팅게일 해의 가족에서 가측 선택을 통해 구성된다.
• 강한 마르코프 해의 비유일성이 입증된다: 동일한 초기 자료에 대해 적어도 두 개의 서로 다른 강한 마르코프 가족이 존재하며, 그 중 하나는 적합하고 다른 하나는 비적합일 수 있다.
• 부산물로써, 에너지 부등식을 만족하는 확률적 강한 해와 해석적 약한 해의 존재성 및 비유일성이 확보된다.