[논문 리뷰] On Integer Additive set-Sequential Graphs

Sudev Naduvath, K. A. Germina|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 06.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 정수 덧셈 집합순서 레이블링(IASSL)을 집합순서 레이블링의 확장으로 제안하며, 정점과 간선이 비음수 정수 집합으로 레이블링되어 지면, 기저 집합 X의 모든 비공집합 부분집합이 정점 또는 간선의 레이블로 유일하게 표현되도록 한다. 주요 결과는 오직 고립 정점이 정확히 ρ′개 있는 비연결 그래프만이 IASSL을 가질 수 있으며, 이때 ρ′은 X의 부분집합 중에서 어떤 부분집합의 합집합 또는 합성원이 되지 않는 부분집합의 수이다.

ABSTRACT

A set-labeling of a graph $G$ is an injective function $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$, where $X$ is a finite set of non-negative integers and a set-indexer of $G$ is a set-labeling such that the induced function $f^{\oplus}:E(G) ightarrow \mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$ defined by $f^{\oplus}(uv) = f(u){\oplus}f(v)$ for every $uv{\in} E(G)$ is also injective. A set-indexer $f:V(G) o \mathcal{P}(X)$ is called a set-sequential labeling of $G$ if $f^{\oplus}(V(G)\cup E(G))=\mathcal{P}(X)-\{\emptyset\}$. A graph $G$ which admits a set-sequential labeling is called a set-sequential graph. An integer additive set-labeling is an injective function $f:V(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$, $\mathbb{N}_0$ is the set of all non-negative integers and an integer additive set-indexer is an integer additive set-labeling such that the induced function $f^+:E(G) ightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N}_0)$ defined by $f^+ (uv) = f(u)+ f(v)$ is also injective. In this paper, we extend the concepts of set-sequential labeling to integer additive set-labelings of graphs and provide some results on them.

연구 동기 및 목표

• 집합순서 레이블링의 개념을 정수 덧셈 집합색인자로 확장하기.
• 정수 덧셈 집합순서 레이블링(IASSL)을 가질 수 있는 그래프의 존재성과 구조적 성질을 조사하기.
• 주어진 유한한 기저 집합 X(비음수 정수)에 대해 IASSL을 가진 그래프를 특성화하기.
• 그래프가 정수 덧셈 집합순서 색인자(IASSI)를 가질 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하기.

제안 방법

• 비음수 정수 집합 ℕ₀로의 단사 함수 f: V(G) → P(ℕ₀)를 정의하여 정수 덧셈 집합레이블링(IASL)을 정의한다.
• f⁺: E(G) → P(ℕ₀)를 정의하며, f⁺(uv) = f(u) + f(v)로 정의하여 정점 레이블의 합집합으로 간주한다.
• V(G) ∪ E(G)에 대해 확장된 함수 f*를 정의하며, 정점에 대해서는 f*(x) = f(x), 간선에 대해서는 f*(e) = f⁺(e)로 정의한다.
• f*가 단사적이며, 그 상(image)이 기저 집합 X의 모든 비공집합 부분집합을 커버해야 한다는 조건을 설정한다.
• 합집합의 집합론적 성질을 이용하여, 합집합 또는 합성원이 되지 않는 X의 부분집합을 식별하며, 이를 집합 B로 표기하고 그 기수를 ρ′로 표기한다.
• 오직 정확히 ρ′개의 고립 정점을 가진 그래프만이 IASSL을 가질 수 있음을 증명하며, 이러한 고립 정점들은 집합 B의 원소로 레이블링되어야 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한한 기저 집합 X(비음수 정수)에 대해 어떤 그래프가 정수 덧셈 집합순서 레이블링(IASSL)을 가질 수 있는가?
• RQ2 정수 덧셈 집합순서 색인자(IASSI)를 가질 수 있는 그래프가 만족해야 할 구조적 조건은 무엇인가?
• RQ3 연결된 그래프는 IASSL을 가질 수 있는가? 만약 그렇지 않다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ4 IASSI를 가질 수 있도록 하기 위해 그래프에 반드시 필요한 고립 정점의 정확한 수는 얼마이며, 이 수는 기저 집합 X와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 X의 부분집합의 합집합 성질이 IASSL의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 연결된 그래프는 정수 덧셈 집합순서 레이블링(IASSL)을 가질 수 없다. 왜냐하면 이 경우 정점에 {0}이 레이블링되어야 하며, 이는 유도된 함수 f*의 단사성과 모순되기 때문이다.
• 나무는 기저 집합 X에 대해 IASSL을 가질 수 있으며, 이 경우 정점 수가 정확히 2^{|X|-1}개여야 한다. 이는 식 2^{|X|} - 1 = 2n - 1에서 유도된다.
• 그래프가 IASSI를 가질 조건은 정확히 ρ′개의 고립 정점을 가진다. 여기서 ρ′은 X의 부분집합 중에서 어떤 부분집합의 합집합 또는 합성원이 되지 않는 부분집합의 수이다.
• 모든 IASS-그래프에서 {0} 집합은 정점의 레이블이어야 하며, 이 정점은 고립되어야 한다. 왜냐하면 다른 정점과 인접해 있을 경우 단사성 조건을 위반하기 때문이다.
• 모든 비공집합 유한 집합 X(비음수 정수)에 대해, X에 대해 적어도 하나의 그래프가 IASSI를 가진다.
• IASSI의 존재는 기저 집합 X의 구조에 따라 결정되며, 동일한 그래프에 대해서도 서로 다른 X에 따라 IASSL이 가능하거나 불가능할 수 있다.