[논문 리뷰] ON INTERVALS (kn,(k + 1)n) CONTAINING A PRIME FOR ALL n > 1

Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 12.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 모든 양의 정수 k 중에서 (kn, (k+1)n)이 모든 n > 1에 대해 적어도 한 개의 소수를 포함하는 경우는 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14뿐임을 증명한다. 이는 k ≤ 50,000,000까지 확인된 바 있다. 저자들은 일반화된 라마누잔 소수를 도입하고 체비셰프 함수 및 소수 카운팅에 대한 경계를 사용하여, (kn, (k+1)n)이 최소 m개의 소수를 포함하기 시작하는 최소 N_k(m)에 대한 효과적인 상계를 도출한다.

ABSTRACT

We study values of k for which the interval (kn,(k+1)n) contains a prime for every n>1. We prove that the list of such integers k includes k=1,2,3,5,9,14, and no others, at least for k<=50,000,000. For every known k of this list, we give a good upper estimate of the smallest N_k(m), such that, if n>=N_k(m), then the interval (kn,(k+1)n) contains at least m primes.

연구 동기 및 목표

• 모든 n > 1에 대해 (kn, (k+1)n)이 적어도 하나의 소수를 포함하는 정수 k를 모두 규명하는 것.
• 각 유효한 k에 대해, (kn, (k+1)n)이 n ≥ N_k(m)일 때마다 최소 m개의 소수를 포함하는 최소 N_k(m)에 대한 효과적인 상계를 설정하는 것.
• v > 1에 대해 v-라마누잔 수와 v-체비셰프 수를 도입하여 라마누잔의 소수 카운팅 방법을 일반화하는 것.
• 계산적으로 k ≤ 50,000,000인 경우에 대해 기존 목록 외의 다른 k가 소수 포함 구간 조건을 만족하지 못함을 확인하는 것.

제안 방법

• v-Ramanujan 수 R_v(m)를 π(x) − π(x/v) ≥ m를 만족하는 최소 x로 정의한다.
• v-Chebyshev 수 C_v(m)를 ϑ(x) − ϑ(x/v) ≥ m ln x를 만족하는 최소 x로 정의한다. 여기서 ϑ는 체비셰프 함수이다.
• Dusart의 |ϑ(x) − x|에 대한 명시적 경계를 사용하여 C_v(m)와 R_v(m)에 대한 상계를 유도하고, 이로 인해 N_k(m)에 대한 계산 가능한 상계를 도출한다.
• 유한 내림과 간격 커버링 기법을 적용하여 m ≥ 1인 경우 N_k(m)를 계산하고, 알려진 소수 분포 정리들을 활용한다.
• 산술급수 내 소수에 대한 소수 분포 결과를 활용하여, 소수의 부분집합 P에 대해 (v, P)-라마누잔 수를 정의하고, 이 방법을 제한된 소수 집합으로 확장한다.
• k ≤ 50,000,000까지 광범위한 수치 계산을 수행하여, 소수 포함 조건을 만족하는 k는 오직 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14뿐임을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n > 1에 대해 (kn, (k+1)n)이 적어도 한 개의 소수를 포함하는 양의 정수 k는 무엇인가?
• RQ2 각 such k에 대해, (kn, (k+1)n)이 n ≥ N_k(m)일 때마다 최소 m개의 소수를 포함하는 최소 N_k(m)는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 라마누잔 소수 방법을 산술급수 내 소수와 같은 소수의 부분집합으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 체비셰프 함수에 대한 명시적 경계를 사용하여 R_v(m)와 C_v(m)에 대한 효과적인 상계를 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ5 k > 14(5000만 이하)에 대해 소수 포함 구간 조건을 만족하는 k가 존재하지 않음을 계산적으로 확인할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 n > 1에 대해 (kn, (k+1)n)이 적어도 한 개의 소수를 포함하는 유일한 정수 k는 k = 1, 2, 3, 5, 9, 14이며, 이는 k ≤ 50,000,000까지 모두 검증된 바 있다.
• 이 k 값 각각에 대해, (kn, (k+1)n)이 모든 n ≥ N_k(m)일 때 최소 m개의 소수를 포함하는 최소 N_k(m)를 계산할 수 있는 명시적 공식과 알고리즘을 제시한다.
• k = 1인 경우, 수열 N_1(m)은 N_1(m) = (R(m) + 1)/2로 주어지며, 여기서 R(m)은 m번째 라마누잔 소수이다.
• k = 2인 경우, 공식은 N_2(m) = ⌊R_{3/2}^{(2)}(m)/3⌋로 주어지며, 여기서 R_{3/2}^{(2)}(m)는 P = {p ≡ 1 mod 3}에 대한 m번째 (2, P)-라마누잔 수이다.
• 논문은 Dusart의 명시적 부등식 |ϑ(x) − x| ≤ 1300x / ln⁴x (x ≥ 2)를 사용하여 v-Ramanujan 수와 v-Chebyshev 수에 대한 효과적인 상계를 도출한다.
• 이 방법은 소수의 부분집합 P로 일반화되었으며, P = {p ≡ 1 mod 3}, {p ≡ 2 mod 3}, {p ≡ 1 mod 4}, {p ≡ 3 mod 4}에 대해 (2, P)-라마누잔 수의 수열을 계산하고, 해당하는 N_k^{(P)}(m) 수열을 유도하였다.