[논문 리뷰] On Jensen's inequality for generalized Choquet integral with an application to risk aversion

Wioletta Szeligowska, Marek Kałuszka|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 02.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 능력에 대해 일반화된 콜레티 적분에 대한 젠센 부등식이 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 확립한다. 이는 부등식이 성립함과 동시에 능력 μ가 ν의 쌍대(capacity)에 의해 지배될 때만 성립하며, 이 결과를 비가환 기대효용 이론에서 위험 회피 이론을 일반화하는 데 응용한다.

ABSTRACT

In the paper we give necessary and sufficient conditions for the Jensen inequality to hold for the generalized Choquet integral with respect to a pair of capacities. Next, we apply obtained result to the theory of risk aversion by providing the assumptions on utility function and capacities under which an agent is risk averse. Moreover, we show that the Arrow-Pratt theorem can be generalized to cover the case, where the expectation is replaced by the generalized Choquet integral.

연구 동기 및 목표

• 두 능력에 대해 일반화된 콜레티 적분에 대한 젠센 부등식이 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 기대값이 일반화된 콜레티 적분으로 대체되는 설정으로 고전적 위험 회피 이론을 확장하는 것.
• 콜레티 적분 프레임워크를 사용하여 비가환 측도로 위험 회피에 대한 앨로우-프래트 정리를 일반화하는 것.
• 일반화된 적분 하에서 위험 회피를 유틸리티 함수의 오목성과 능력 성질의 관점에서 특성화하는 것.

제안 방법

• μ와 ν를 능력으로 하여 일반화된 콜레티 적분을 $ C_{\mu\nu}(X) = \int_0^\infty \mu(X > t)\,dt - \int_{-\infty}^0 \nu(X < t)\,dt $ 로 정의한다.
• 일관성, 동차성, 이동 불변성 등의 일반화된 콜레티 적분의 성질을 사용하여 구조적 행동을 분석한다.
• 증명함으로써 젠센 부등식 $ C_{\mu\nu}(f(X)) \leq f(C_{\mu\nu}(X)) $ 가 증가하고 오목인 함수 $ f $ 에 대해 $ f(0) \geq 0 $ 를 만족할 때, $ \mu \leq \overline{\nu} $ 이면 성립함을 보인다.
• 비가환 측도 하에서 확정적 등가와 위험 프리미엄을 모델링하여 유틸리티 이론에 적용한다.
• 일반화된 콜레티 적분이 기대값으로 대체될 때, 앨로우-프래트 정리를 확장함으로써 위험 회피는 유틸리티 함수의 오목성과 대응함을 보인다.
• 예를 들어 가능도, 믿음, 신뢰도, 허리치 측도 등의 능력 예시를 제시하여 이론적 결과가 실질적 의사결정 맥락에서 어떻게 적용되는지 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 능력 μ와 ν에 대해 어떤 조건에서 일반화된 콜레티 적분에 대한 젠센 부등식이 성립하는가?
• RQ2 수학적 기대값이 일반화된 콜레티 적분으로 대체될 경우, 고전적 앨로우-프래트 정리의 위험 회피 이론은 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 비가환 측도의 맥락에서 유틸리티 함수의 오목성과 위험 회피 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 신뢰도, 가능도, 믿음 측도와 같은 다양한 종류의 능력은 위험 회피와 확정적 등가의 해석에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 조건 $ \mu \leq \overline{\nu} $ 는 일반화된 콜레티 적분에 대한 젠센 부등식의 타당성을 확보하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 증가하고 오목인 함수 $ f $ 에 대해 $ f(0) \geq 0 $ 를 만족할 때, 젠센 부등식 $ C_{\mu\nu}(f(X)) \leq f(C_{\mu\nu}(X)) $ 는 $ \overline{\nu} $ 가 $ \nu $ 의 쌍대 능력일 때, $ \mu \leq \overline{\nu} $ 이면 성립함을 보였다.
• 앨로우-프래트 정리가 일반화됨: 일반화된 콜레티 적분 하에서 기업은 유틸리티 함수가 오목일 때에만 위험 회피적임이 증명됨.
• 손실 $ X $ 가 재산 $ w $ 로 유한할 경우, 위험 회피는 $ x \geq 0 $ 에서 유틸리티 함수의 오목성과 동치이며, 상대적 위험 회피는 앨로우-프래트 지수 $ r_u(x) = -u''(x)/u'(x) $ 로 측정됨.
• 대칭 콜레티 적분(즉, $ \mu = \nu $) 이며 $ \mu(A) + \mu(A^c) = 1 $ 을 만족하는 능력의 경우, 유틸리티 함수가 오목일 때도 위험 프리미엄은 여전히 비음이 아님.
• 유틸리티 함수 $ u $ 가 오목이고 $ \mu \leq \overline{\nu} $ 를 만족할 경우, 확정적 등가 $ \widehat{\pi}_u(X,w) $ 는 위험 중립 프리미엄 $ \pi_0 $ 과 같거나 더 큼을 보여 위험 회피를 나타냄.
• 신뢰도 측도 및 기타 불확실성 측도(예: 가능도, 믿음)는 유효한 능력으로 확인되었으며, 이들의 일반화된 콜레티 적분에서 사용함으로써 오목 유틸리티 함수 하에서 위험 회피의 구조를 유지함.