[논문 리뷰] New fractional integral unifying six existing fractional integrals

Udita N. Katugampola|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 22.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 20인용 수 49

한 줄 요약

이 논문은 파라미터 $\rho$, $\alpha$, $\beta$, $\eta$, $\kappa$를 사용하여 Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl, Liouville의 여섯 가지 기존 분수적 적분을 하나의 연산자로 통합하는 새로운 일반화된 분수적 적분을 제안한다. 주요 기여는 특정 파라미터 조건 하에서 각 고전적 연산자로 축소되는 통합된 적분 형태를 제공하며, 반군, 유계성, 이동, 부분적 적분 성질이 증명되어 있다.

ABSTRACT

In this paper we introduce a new fractional integral that generalizes six existing fractional integrals, namely, Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl and Liouville fractional integrals in to one form. Such a generalization takes the form \[ \left({}^ρ\mathcal{I}^{α, β}_{a+;η, κ}f ight)(x)=\frac{ρ^{1-β}x^κ}{Γ(α)}\int_a^x \frac{τ^{ρη+ρ-1}}{(x^ρ-τ^ρ)^{1-α}}f(τ) ext{d}τ, \quad 0\leq a < x < b \leq \infty. \] A similar generalization is not possible with the Erdélyi-Kober operator though there is a close resemblance with the operator in question. We also give semigroup, boundedness, shift and integration-by-parts formulas for completeness.

연구 동기 및 목표

• Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl, Liouville의 여섯 가지 기존 분수적 적분을 하나의 일반화된 연산자로 통합하는 것.
• 일반화된 분수적 적분을 위한 종합적인 프레임워크를 수립하여, 유계성, 반군, 이동, 부분적 적분 성질을 포함하는 것.
• 특정 파라미터 극한 조건 하에서 새로운 연산자가 기존의 고전적 분수적 적분으로 축소됨을 보여주는 것.
• 앞서 나올 논문에서 여섯 가지 고전적 분수적 미분을 통합하는 데 기초가 되는 일반화된 분수적 미분에 대한 기반을 마련하는 것.

제안 방법

• 일반화된 왼쪽 측 분수적 적분을 제안: $\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{\rho^{1-\beta}x^{\kappa}}{\Gamma(\alpha)}\int_a^x \frac{\tau^{\rho(\eta+1)-1}}{(x^{\rho}-\tau^{\rho})^{1-\alpha}} f(\tau)\,d\tau$.
• 변수 치환 $u = (\tau/x)^\rho$를 도입하여 적분을 Riemann-Liouville 유사 형태로 표현: $\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x) = \frac{x^{\kappa+\rho(\alpha+\eta)}}{\rho^{\beta}\Gamma(\alpha)}\int_0^1 (1-u)^{\alpha-1} u^{\eta} f(xu^{1/\rho})\,du$.
• $\rho \to 0^+$ 극한과 L'Hôpital의 정리를 사용하여, $\kappa=0$, $\beta=\alpha$ 조건 하에서 연산자가 Hadamard 적분으로 축소됨을 보여주는 것.
• 반군 성질을 수립: ${}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1} f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1} f$.
• 일반화된 부분적 적분 공식을 증명: $\int_a^b x^{\rho-1} f(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}g\right)(x) dx = \int_a^b x^{\rho-1} g(x) \left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{b-;\eta,\kappa}f\right)(x) dx$.
• 일반화된 적분의 오른쪽 측 버전을 도입하고 성질을 논의하며, 추가 파라미터 $\omega$를 포함하는 더 일반적인 형태는 더 복잡한 결과를 낳는다는 점을 지적한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Riemann-Liouville, Hadamard, Erdélyi-Kober, Katugampola, Weyl, Liouville의 여섯 가지 고전적 분수적 적분을 통합하는 단일 분수적 적분 연산자를 구성할 수 있는가?
• RQ2 새로운 일반화된 적분에서 어떤 파라미터 조합이 각 여섯 가지 고전적 분수적 적분으로 축소되는가?
• RQ3 새로운 연산자가 반군, 유계성, 이동, 부분적 적분 등의 기본 성질을 만족하는가?
• RQ4 특히 $\rho \to 0^+$ 극한에서 알려진 Hadamard 적분과 일관된가?
• RQ5 새로운 연산자가 통합된 분수적 미분 이론의 기초로 기능할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 분수적 적분 $\left({}^{\rho}I^{\alpha,\beta}_{a+;\eta,\kappa}f\right)(x)$는 특정 파라미터 조건을 통해 여섯 가지 고전적 분수적 적분을 통합한다.
• $\rho=1$, $\eta=0$, $\kappa=0$ 조건에서 연산자는 Riemann-Liouville 분수적 적분으로 축소된다.
• $\beta=\alpha$ 조건에서 연산자는 Katugampola 분수적 적분으로 축소된다.
• $\rho \to 0^+$ 극한에서 $\kappa=0$, $\beta=\alpha$ 조건을 적용하고 L'Hôpital의 정리를 사용하면 Hadamard 분수적 적분으로 도출된다.
• $\beta=0$, $\kappa = -\rho(\alpha + \eta)$ 조건에서 연산자는 Erdélyi-Kober 형식의 적분으로 축소된다.
• 반군 성질이 성립한다: $\left({}^{\rho}I^{\alpha_1,\beta_1}_{a+;\eta_1,\kappa_1} \circ {}^{\rho}I^{\alpha_2,\beta_2}_{a+;\eta_2,-\rho\eta_1}\right)f = {}^{\rho}I^{\alpha_1+\alpha_2,\beta_1+\beta_2}_{a+;\eta_2,\kappa_1}f$ 적절한 조건 하에서.