[논문 리뷰] On Kiselman quotients of 0-Hecke monoids

Olexandr Ganyushkin, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 02.

semigroups and automata theory참고 문헌 25인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 단순 끈적(Dynkin) 다이어그램에 관련된 0-Hecke 모노이드의 Kiselman 몫을 도입하며, 0-Hecke 모노이드의 브레드 관계와 Kiselman의 아이디포텐트 관계를 결합한다. 이 모노이드들을 동형에 대해 분류하고, 정확히 2^n개의 아이디포텐트를 가지며 J-자명임을 증명하며, A_n 유형의 경우 크기가 (n+1)번째 카탈란 수 C_{n+1}에 도달함을 보이며, 이를 체인 위의 순서 유지 및 순서 감소 전환에 대한 모노이드로 실현한다.

ABSTRACT

Combining the definition of 0-Hecke monoids with that of Kiselman semigroups, we define what we call Kiselman quotients of 0-Hecke monoids associated with simply laced Dynkin diagrams. We classify these monoids up to isomorphism, determine their idempotents and show that they are $\mathcal{J}$-trivial. For type $A$ we show that Catalan numbers appear as the maximal cardinality of our monoids, in which case the corresponding monoid is isomorphic to the monoid of all order-preserving and order-decreasing total transformations on a finite chain. We construct various representations of these monoids by matrices, total transformations and binary relations. Motivated by these results, with a mixed graph we associate a monoid, which we call a Hecke-Kiselman monoid, and classify such monoids up to isomorphism. Both Kiselman semigroups and Kiselman quotients of 0-Hecke monoids are natural examples of Hecke-Kiselman monoids.

연구 동기 및 목표

• oriented Dynkin 다이어그램을 통해 0-Hecke 모노이드와 Kiselman 준군을 결합하여 새로운 모노이드의 클래스를 정의하고 연구하기.
• 기초적인 방향성 있는 그래프에 대해 이러한 모노이드들을 동형에 대해 분류하기.
• J-자명성, 아이디포텐트 수, 생성 체계와 같은 구조적 성질을 규명하기.
• A 유형에서 카탈란 수와 알려진 전환 모노이드 간의 관계 탐색하기.
• 혼합 그래프로의 일반화를 통해 Hecke-Kiselman 모노이드를 정의하고, 그 동형 분류를 수립하기.

제안 방법

• oriented Dynkin 다이어그램에서 i→j일 때 추가 관계 ε_i ε_j ε_i = ε_j ε_i ε_j = ε_i ε_j 를 통해 0-Hecke 모노이드의 몫으로 Kiselman 몫을 정의한다.
• 0-Hecke 모노이드의 브레드 관계와 Kiselman의 교환 아이디포텐트 관계를 이용해 하이브리드 모노이드 구조를 정의한다.
• 제안된 관계에 의해 Green의 J-관계가 붕괴됨을 이용해 J-자명성을 증명한다.
• 기본 생성 집합 {ε_i}의 유일성을 불가약성 및 최소성의 논증을 통해 확립한다.
• 부분그래프에 관련된 Hecke-Kiselman 모노이드 사이에 자연스러운 단사 준동형을 구성함으로써 동형 분류를 가능하게 한다.
• 혼합 그래프에 대해 Hecke-Kiselman 모노이드를 정의하고, 모노이드의 동형이 그 기초 그래프의 동형을 유도함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 0-Hecke 모노이드의 Kiselman 몫이 동형이며, 이러한 동형은 어떤 그래프 이론적 불변량으로 결정되는가?
• RQ2 A_n 유형의 0-Hecke 모노이드의 Kiselman 몫의 최대 크기는 얼마이며, 언제 그 최대값이 도달하는가?
• RQ3 이러한 모노이드의 아이디포텐트와 생성 체계는 어떻게 행동하는가? 그리고 기본 생성 집합은 유일한가?
• RQ4 기초적인 방향성 있는 그래프의 구조와 모노이드의 성질(예: J-자명성, 유한성) 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 0-Hecke 모노이드와 Kiselman 준군의 구성은 Hecke-Kiselman 모노이드의 더 넓은 클래스에서 어떻게 통합되는가?

주요 결과

• 모든 단순 끈적(Dynkin) 다이어그램 Γ의 방향성에 대해 Kiselman 몫 모노이드 K H_Γ→ 는 J-자명하다.
• 모노이드는 정점 수가 n인 Γ에 대해 정확히 2^n개의 아이디포텐트를 가진다.
• 기본 생성자 {ε_i}는 모노이드의 유일한 불가약 생성 체계를 이룬다.
• A_n 유형의 경우, K H_Γ→ 의 최대 크기는 (n+1)번째 카탈란 수 C_{n+1}이며, 이는 방향이 선형일 때(즉, 방향 경로일 때) 정확히 도달된다.
• 최대 크기의 A 유형의 경우, 이 모노이드는 크기가 n+1인 체인 위의 모든 순서 유지 및 순서 감소 전환에 대한 모노이드와 동형이다.
• 혼합 그래프에 관련된 Hecke-Kiselman 모노이드는 그 기초 그래프가 동형일 때이고 그 때에만 서로 동형이다.