[논문 리뷰] On Kiselman's semigroup

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|2005. 11. 15.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 볼록성 이론에서 유래한 3원소 모노이드의 일반화인 키슬레르의 반군 $\mathrm{K}_n$에 대한 체계적인 대수적 연구를 제공한다. 비음수 정수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬 표현을 충실하게 구성하고, 이 크기의 최소성과 녹슨 관계, 자기동형사상, 비등식, 기약 표현, 반군 대수의 구조를 완전히 기술함으로써 $\mathrm{K}_n$이 준-헤레디타리 대수임을 입증한다.

ABSTRACT

We study the algebraic properties of the series $\mathrm{K}_n$ of semigroups, which is inspired by \cite{Ki} and has origins in convexity theory. In particular, we describe Green's relations on $\mathrm{K}_n$, prove that there exists a faithful representation of $\mathrm{K}_n$ by $n imes n$ matrices with non-negative integer coefficients (and even explicitly construct such a representation), and prove that $\mathrm{K}_n$ does not admit a faithful representation by matrices of smaller size. We also describe the maximal nilpotent subsemigroups in $\mathrm{K}_n$, all isolated and completely isolated subsemigroups, all automorphisms and anti-automorphisms of $\mathrm{K}_n$. Finally, we explicitly construct all irreducible representations of $\mathrm{K}_n$ over any field and describe primitive idempotents in the semigroup algebra (which we prove is basic).

연구 동기 및 목표

• 볼록성 이론에서 유래한 3원소 모노이드의 일반화인 $\mathrm{K}_n$의 대수적 구조를 체계적으로 조사하는 것.
• 비음수 정수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬 표현이 존재함을 입증하고, 그 크기가 최소임을 증명하는 것.
• $\mathrm{K}_n$에서 녹슨 관계, 자기동형사상, 반자기동형사상, 고립된 부분반군을 완전히 기술하는 것.
• 임의의 체 위에서 $\mathrm{K}_n$의 모든 기약 표현을 구성하고, 반군 대수 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$를 분석하는 것.
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$가 프로젝티브 표준 모듈을 갖는 준-헤레디타리 대수임을 증명하는 것.

제안 방법

• 기초 대수적 정의로서 $\mathrm{K}_n = \langle a_1,\dots,a_n : a_i^2 = a_i,\ a_ia_ja_i = a_ja_ia_j = a_ja_i\ \text{for}\ i < j \rangle$ 의 표현을 사용하는 것.
• 레마 1을 적용하여 단어를 단순화하고 최소 단어 표현의 길이를 유 bounds하는 것으로, $\mathfrak{l}(w) \leq L(n)$ 을 도출하는 것.
• 집합 $\{1,\dots,n\}$ 위의 작용을 통해 비등식 기저 $e_X^{(n)}$ 를 사용하여 충실한 $n \times n$ 행렬 표현을 구성하는 것.
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 가 $X \neq \{1,\dots,n\}$ 일 때 충실하지 않음을 이용하여, 더 작은 크기의 충실한 행렬 표현이 존재하지 않음을 증명하는 것.
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 를 $P_1 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n a_n$ 과 $P_2 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n (e - a_n)$ 로 귀납적으로 분해하고, $\mathrm{Hom}(P_1, P_2)$ 가 0임을 이용하여 방향성과 준-헤레디타리 성질을 증명하는 것.
• 프로젝티브 모듈 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 를 통해 기약 표현을 명시적으로 구성하고, $\mathbb{K}\mathrm{K}_{n-1}$ 에 대한 동형사상으로 내림표현 대수의 엔도모르피즘 대수를 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\mathrm{K}_n$ 은 비음수 정수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬로 충실한 표현을 갖는가? 그리고 이 크기가 최소인가?
• RQ2 $\mathrm{K}_n$ 의 녹슨 관계, 자기동형사상, 반자기동형사상은 무엇인가?
• RQ3 $\mathrm{K}_n$ 의 어떤 부분반군이 고립되거나 완전히 고립되는가?
• RQ4 임의의 체 위에서 $\mathrm{K}_n$ 의 기약 표현은 무엇이며, 그 반군 대수의 구조는 어떠한가?
• RQ5 반군 대수 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 는 준-헤레디타리인가? 만약 그렇다면 어떤 순서에 대해인가?

주요 결과

• $\mathrm{K}_n$ 은 집합 $\{1,\dots,n\}$ 위의 작용을 통해 명시적으로 구성된 비음수 정수 성분을 가진 $n \times n$ 행렬 표현을 충실하게 갖는다.
• $X \neq \{1,\dots,n\}$ 일 때 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 가 충실하지 않음을 이용하여, $n \times n$ 보다 작은 크기의 충실한 행렬 표현이 존재하지 않음을 증명한다.
• $\mathrm{K}_n$ 에서 녹슨 관계는 완전히 기술되었으며, $\mathcal{L}$-클래스는 부분집합 $X \subset \{1,\dots,n\}$ 에 의해 인덱싱된다.
• $\mathrm{K}_n$ 의 자기동형사상군은 자명하고, 반자기동형사상군 역시 자명하여, 높은 수준의 비대칭성을 나타낸다.
• 임의의 체 위에서 $\mathrm{K}_n$ 의 모든 기약 표현은 프로젝티브 모듈 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 와 동형이며, 반군 대수 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 는 기본적이고 준-헤레디타리이다.
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 은 부분집합에 대한 선형 순서에 대해 방향성이 있으며, 프로젝티브 표준 모듈을 갖는 준-헤레디타리 구조를 갖는다.