[논문 리뷰] On Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's Conjectures

Germán Paz|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 19.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ n^2 $ 와 $ (n+1)^2 $ 사이의 엄밀히 연속된 $ n $개의 정수로 이루어진 수열이 적어도 한 개의 소수를 포함한다는 추측 1을 조사한다. 만약 추측 1이 모든 $ n $ 에 대해 참이라면 레그렌드의, 브로카르의, 안디카라의, 옵버만의 추측들이 모두 도출된다는 것을 증명한다. 저자들은 추측 1이 모든 $ n \leq 1,193,806,023 $ 에 대해 계산적으로 확인되었음을 보여주며, 이들 오랜 기간 동안 미해결인 소수 분포 추측들에 대한 강력한 경험적 근거를 확보한다.

ABSTRACT

Let $n\in\mathbb{Z}^+$. Is it true that every sequence of $n$ consecutive integers greater than $n^2$ and smaller than $(n+1)^2$ contains at least one prime number? In this paper we show that this is actually the case for every $n \leq 1,193,806,023$. In addition, we prove that a positive answer to the previous question for all $n$ would imply Legendre's, Brocard's, Andrica's, and Oppermann's conjectures, as well as the assumption that for every $n$ there is always a prime number in the interval $[n,n+2\lfloor\sqrt{n} floor-1]$.

연구 동기 및 목표

• 연속된 제곱수 사이의 소수 분포에 관한 새로운 추측의 타당성을 조사한다.
• 이 추측과 소수 이론에서 네 가지 주요 미해결 추측인 레그렌드의, 브로카르의, 안디카라의, 옵버만의 추측 사이의 논리적 연결 고리를 확립한다.
• 모든 $ n \leq 1,193,806,023 $ 에 대해 추측을 계산적으로 검증한다.
• 추측 1의 긍정적 답변이 모든 양의 정수 $ n $ 에 대해 구간 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 에 소수가 존재함을 의미함을 보여준다.

제안 방법

• 추측 1의 형식화: $ (n^2, (n+1)^2) $ 내에서 $ n $개의 연속된 정수로 이루어진 수열이 적어도 하나의 소수를 포함한다.
• 최대 소수 간격 방법의 적용: 소수 $ P $ 뒤에 최대 간격 $ G $ 가 존재할 때, $ G < \lfloor\sqrt{P}\rfloor $ 이면, 추측 1은 $ n \in [G-1, \lfloor\sqrt{P}\rfloor - 1] $ 에 대해 성립한다.
• $ n = 1,193,806,023 $ 까지의 계산적 검증을 통해 추측 1이 이 범위 내에서 성립함을 확인한다.
• 유도된 함의: 추측 1이 참이라면, 레그렌드의, 브로카르의, 안디카라의, 옵버만의 추측들도 모두 참이어야 한다.
• 추측 1이 참이라면, 모든 $ n $ 에 대해 구간 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 에 적어도 하나의 소수가 존재함을 보여준다.
• 바닥함수 항등식과 부등식을 사용하여 구간 길이를 비교하고, $ a + 2\lfloor\sqrt{a}\rfloor - 1 \geq a + \lfloor\sqrt{a}\rfloor $ 를 증명함으로써 더 넓은 구간 주장에 대한 지원을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ n $ 개의 연속된 정수로 이루어진 수열이 $ n^2 $ 와 $ (n+1)^2 $ 사이의 엄밀한 범위 내에 적어도 하나의 소수를 포함하는가?
• RQ2 추측 1이 모든 $ n $ 에 대해 참이라면, 이는 레그렌드의, 브로카르의, 안디카라의, 옵버만의 추측들을 논리적으로 함의하는가?
• RQ3 추측 1을 계산적으로 검증할 수 있는 최대 $ n $ 은 얼마인가?
• RQ4 추측 1이 참이라면, 모든 $ n $ 에 대해 구간 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 에 소수가 보장되는가?
• RQ5 모든 $ n $ 과 $ \lfloor\sqrt{n}\rfloor $ 의 홀짝성은 부분구간 내 소수 존재성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 추측 1은 모든 $ n \leq 1,193,806,023 $ 에 대해 계산적으로 검증되어 참으로 확인되었다.
• 추측 1이 모든 $ n $ 에 대해 참이라면, 레그렌드의 추측 — 즉, $ n^2 $ 와 $ (n+1)^2 $ 사이에 항상 소수가 존재한다는 것 — 이 그 결과로 도출된다.
• 동일한 가정은 브로카르의 추측을 함의한다. 브로카르의 추측은 $ n \geq 2 $ 일 때 $ p_n^2 $ 와 $ p_{n+1}^2 $ 사이에 적어도 네 개의 소수가 존재한다고 주장한다.
• 안디카라의 추측 — $ \sqrt{p_{n+1}} - \sqrt{p_n} < 1 $ — 도 추측 1에 의해 함의된다.
• 옵버만의 추측 — $ n > 1 $ 일 때 $ (n^2 - n, n^2) $ 와 $ (n^2, n^2 + n) $ 에 각각 적어도 한 개의 소수가 존재한다 — 도 추측 1에 의해 도출된다.
• 추측 1이 참이라면, 모든 양의 정수 $ n $ 에 대해 구간 $[n, n + 2\lfloor\sqrt{n}\rfloor - 1]$ 에 적어도 하나의 소수가 존재한다.