[논문 리뷰] On Minimal Valid Inequalities for Mixed Integer Conic Programs

Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 29.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비음수 직각군, 로렌츠 군, 양의 정부호 군과 같은 일반적인 정규 군을 사용하여 혼합정수콘익프로그램(MICPs)의 최소 유효 부등식에 대한 통합 프레임워크를 제안한다. K-최소 부등식을 정의하고, 이들과 군에 의해 유도되는 부등식이 온건한 가정 하에 볼록껍질을 기술함을 보이며, 혼합정수선형계획법과의 일반화를 통해 지지함수를 통한 새로운 대수적 및 기하학적 특성화를 드러낸다.

ABSTRACT

We study disjunctive conic sets involving a general regular (closed, convex, full dimensional, and pointed) cone K such as the nonnegative orthant, the Lorentz cone or the positive semidefinite cone. In a unified framework, we introduce K-minimal inequalities and show that under mild assumptions, these inequalities together with the trivial cone-implied inequalities are sufficient to describe the convex hull. We study the properties of K-minimal inequalities by establishing algebraic necessary conditions for an inequality to be K-minimal. This characterization leads to a broader algebraically defined class of K- sublinear inequalities. We establish a close connection between K-sublinear inequalities and the support functions of sets with a particular structure. This connection results in practical ways of showing that a given inequality is K-sublinear and K-minimal. Our framework generalizes some of the results from the mixed integer linear case. It is well known that the minimal inequalities for mixed integer linear programs are generated by sublinear (positively homogeneous, subadditive and convex) functions that are also piecewise linear. This result is easily recovered by our analysis. Whenever possible we highlight the connections to the existing literature. However, our study unveils that such a cut generating function view treating the data associated with each individual variable independently is not possible in the case of general cones other than nonnegative orthant, even when the cone involved is the Lorentz cone.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 정규 군을 포함하는 혼합정수콘익프로그램에서 최소 유효 부등식에 대한 통합 프레임워크를 개발하기 위해.
• K-최소 부등식을 대수적으로 특성화하고, 하위선형 함수 및 지지함수와 연관시키기 위해.
• 혼합정수선형계획법에서 알려진 결과를 콘익 경우로 일반화하여, 특히 조각별 선형 하위선형 함수의 역할을 다루기 위해.
• 비음수 직각군을 초월하여 K-최소 부등식의 구조와 유한성을 연구하기 위해, 특히 로렌츠 군과 반정의 양성 군에 대해 고려하기 위해.
• MICPs에서 유효 부등식의 K-최소성과 K-하위선형성의 실용적 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 정규 군 K와 유한한 제약 조건 집합으로 정의된 분리 콘익 집합에 대해 K-최소 부등식의 개념을 도입한다.
• K-하위선형 부등식을 K-최소 부등식을 포함하는 더 넓은 클래스로 정의하며, 이는 양의 동차성, 하위加성 및 볼록성으로 특징지어진다.
• 특정 볼록집합의 지지함수와 K-하위선형 부등식 간의 연결 고리를 설정하여 실용적인 검증을 가능하게 한다.
• 이 지지함수 연결 고리를 이용해 비다각형 군에서도 K-최소성과 K-하위선형성에 대한 충분조건을 유도한다.
• 모든 관련 선형 부등식이 K-최소여야 한다는 조건을 요구함으로써 K-최소성의 개념을 콘익 부등식으로 확장한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 고전적인 MILP 결과를 재현하며, K-하위선형 함수가 K가 비음수 직각군일 때 조각별 선형, 양의 동차성, 하위加성, 볼록성을 띤 함수로 줄어듦을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 직각군을 초월하여 일반적인 정규 군에 대해 K-최소 부등식을 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 K-하위선형 부등식과 특정 구조를 가진 볼록집합의 지지함수 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 MICPs에서 주어진 부등식의 K-최소성 또는 K-하위선형성을 검증하기 위한 실용적 충분조건이 존재하는가?
• RQ4 기저 군이 다각형이 아닌 경우, 분리 콘익 집합의 볼록껍질을 기술하기 위해 필요한 K-최소 콘익 부등식의 수는 유한한가?
• RQ5 MILP에서 효과적이었던 컷 생성 함수 접근법은 로렌츠 군과 같이 직각군이 아닌 군을 포함하는 MICPs로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• K-최소 부등식과 군에 의해 유도되는 부등식은 온건한 가정 하에 분리 콘익 집합의 볼록껍질을 기술하는 데 충분하다.
• K가 비음수 직각군일 경우, 모든 K-하위선형 부등식은 조각별 선형, 양의 동차성, 하위加성, 볼록성을 띤 함수로부터 생성되며, 고전적인 MILP 결과를 회복한다.
• K-하위선형 부등식과 특정 볼록집합의 지지함수 사이에 강력한 연결 고리가 확립되어 K-최소성의 실용적 검증이 가능해진다.
• 로렌츠 군 L^3과 같은 비다각형 군의 경우, 볼록껍질은 무한히 많은 극한 선형 부등식을 요구할 수 있지만, 동일한 유형의 콘익 부등식은 유한 개로 충분하다.
• 이 프레임워크는 비음수 직각군 이외의 군에 대해서는 변수별로 데이터를 독립적으로 다루는 것, 즉 MILP 컷 생성 함수 방식을 일반적으로 적용할 수 없음을 드러낸다. 심지어 로렌츠 군의 경우에도 마찬가지다.
• 이 논문은 K-최소성과 K-하위선형성에 대한 새로운 충분조건을 제공하며, 이는 MILP 설정에서도 새로움을 이룬다.