[논문 리뷰] Torelli Groups and Geometry of Moduli Spaces of Curves

Richard Hain|ArXiv.org|1994. 03. 27.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 29인용 수 47

한 줄 요약

이 논문은 존슨의 호모모르피즘을 제시하며, 임의의 야코비안의 원시 코homology에서 토렐리 군의 첫 번째 유리 코homology로 가는 사상으로, 세이토의 호지 모듈러 이론을 사용한다. $ g \geq 3 $ 인 경우, 레벨 $ l $ 구조를 가진 모듈리 공간 $ \mathcal{M}_g(l) $의 피카르 군은 유한 생성임을 증명하며, 모든 일반적으로 정의된 정규 함수는 정규 함수 $ C - C^{-} $의 유리수 배임을 보여주며, 헤리스-펄트 정리의 새로운 증명과 레벨 구조에 대한 일반화된 프랑케타 추측을 이끌어낸다.

ABSTRACT

In this paper we give an exposition of Dennis Johnson's work on the first homology of the Torelli groups and show how it can be applied, alone and in concert with Saito's theory of Hodge modules, to study the geometry of moduli spaces of curves. For example, we show that the picard groups of moduli spaces of curves with a fixed level structure are finitely generated, classify all "natural" normal functions defined over moduli spaces of curves with a fixed level, and also "compute" the height paring between cycles over moduli spaces of curves which are homologically trivial and disjoint over the generic point. Several new sections have been added. These apply the results on normal functions to prove generalizations of the classical Franchetta conjecture for curves and abelian varieties. In one section, the monodromy group of nth roots of the canonical bundle is computed.

연구 동기 및 목표

• 제시된 $ PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ 에서 $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) $ 로의 존슨 호모모르피즘의 종합적 서술을 제공하여, 토렐리 군 코hom로의 연결을 맺는다.
• 존슨의 계산과 세이토의 호지 모듈러 이론을 적용하여 $ g \geq 3 $ 인 $ \mathcal{M}_g(l) $ 상에서 일반적으로 정의된 정규 함수의 구조를 규명한다.
• 일반화된 프랑케타 추측을 증명하여, 레벨 $ l $ 구조를 가진 일반 곡선의 피카르 군이 토퍼션을 제외하고 랭크 1로 유한 생성됨을 보인다.
• 차원 제약 조건 하에 곡선 모듈리 공간 상에서 동치가 아닌, 호모로지적으로 자명한 두 사이클 간의 아르키메데스 높이 쌍을 계산한다.
• 토렐리 군 코hom으로의 연결을 통해, 주로 편향된 아벨 다양체의 모듈리 공간 $ \mathcal{A}_g(l) $ 에도 유사한 결과를 확장하며, 정규 함수의 유한성과 높이 쌍의 유리성에 대해 논의한다.

제안 방법

• 존슨 호모모르피즘의 세 가지 동치 구성법을 서술하고, 그 동치성을 증명함으로써 정규 함수 응용에 핵심적인 기초를 마련한다.
• 특히 음수 무게를 가진 변형 호지 구조를 분석하기 위해 세이토의 호지 모듈러 이론을 사용한다.
• 존슨의 결과 $ H^1(T_g, \mathbb{Q}) \cong PH^3(\operatorname{Jac} C, \mathbb{Q}) $ 를 적용하여 $ \mathcal{M}_g(l) $ 상에서 정규 함수를 분류하며, 이들이 사이클 $ C - C^{-} $ 의 정규 함수의 유리수 배임을 보인다.
• $ \Gamma_g $ 의 캐논리컬 번들의 $ n $제곱근에 대한 작용의 핵을 나누어, 유일하게 전역적으로 정의된 것은 캐논리컬 번들과 모든 썰티 특성치뿐임을 증명한다.
• 노리의 $ \mathcal{A}_g(L) $ 의 유한 커버 상에서의 정규 함수 결과를 활용하여 $ \mathcal{M}_g(l) $ 의 결과와 비교·대조하며, 특히 분지 커버의 경우를 다룬다.
• 섹션 9의 논증을 변형하여, $ Sp_g $ 의 기약 표현은 모두 짝수 또는 홀수임을 보이며, 이에 대응하는 호지 구조의 무게를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레벨 $ l $ 구조를 가진 $ g \geq 3 $ 인 $ \mathcal{M}_g(l) $ 상에서 일반적으로 정의된 정규 함수의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ2 존슨의 호모모르피즘은 모듈리 공간 $ \mathcal{M}_g(l) $ 의 기하학, 특히 코homology와 피카르 군의 측면에서 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 고전적 프랑케타 추측은 레벨 $ l $ 구조를 가진 곡선의 모듈리 공간으로 일반화될 수 있으며, 이 경우 피카르 군의 구조는 어떠한가?
• RQ4 표준적인 차원 제약 조건 하에, 곡선 모듈리 공간 상에서 두 호모로지적으로 자명하고 서로소인 사이클 간의 아르키메데스 높이 쌍은 무엇인가?
• RQ5 모듈리 공간 $ \mathcal{M}_g(l) $ 에서의 정규 함수 및 높이 쌍에 대한 결과는 $ \mathcal{A}_g(l) $ 에서의 유사한 결과와 어떻게 비교되는가? 특히 노리의 정리의 관점에서.

주요 결과

• 레벨 $ l $ 구조를 가진 $ \mathcal{M}_g(l) $ 의 피카르 군은 $ g \geq 3 $ 인 경우 유한 생성되며, 토퍼션 부분군은 $ (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})^{2g} $ 와 동형이며, 토퍼션을 제외한 부분은 $ l $ 가 홀수이면 캐논리컬 번들과, $ l $ 가 짝수이면 캐논리컬 번들의 제곱근으로 생성된다.
• 모든 일반적으로 정의된 정규 함수는 $ g \geq 3 $ 인 경우 $ \mathcal{M}_g(l) $ 상에서 토퍼션을 제외하고 사이클 $ C - C^{-} $ 의 정규 함수의 유리수 배이다.
• 상대적 차원 $ d $, $ e $, $ n $ 을 가진 두 호모로지적으로 자명하고 서로소인 사이클 간의 아르키메데스 높이 쌍은 $ d + e = n - 1 $ 를 만족할 때, 어떤 $ \mathcal{M}_g(l) $ 상의 유리 함수 $ h $ 에 대해 $ \log|h(A)| $ 로 주어진다.
• 토렐리 공간 상에서 정의된 캐논리컬 번들의 근은 캐논리컬 번들과 모든 썰티 특성치뿐임을 보이며, 이는 $ \Gamma_g $ 의 $ n $제곱근에 대한 작용의 핵을 나누어 계산한 결과의 결과이다.
• $ g \geq 2 $ 이고 $ L/\pm I $ 가 토퍼션 자유일 때, $ \mathcal{A}_g(L) $ 상에서 음수 무게의 호지 구조 변화에 대해, 유리 $ Sp_g $-표현의 단일 회전을 가지는 정규 함수의 군은 유한하다.
• $ \mathcal{A}_g(L) $ 에서, $ d + e = n - 1 $ 을 만족하고 서로소이며 호모로지적으로 자명한 사이클 간의 높이 쌍은, 단일 회전이 유리 $ Sp_g $-표현의 제약일 경우 유리 함수 $ h(A) $ 에 대해 $ \log|h(A)| $ 로 주어진다.