[논문 리뷰] On Quantum and Classical Error Control Codes: Constructions and Applications

Salah A. Aly|ArXiv.org|2008. 12. 30.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 171인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 고전적 코드를 사용하여 양자 오류 제어 코드—양자 블록, 서브시스템, 컨volution형, LDPC, 비대칭 코드—의 새로운 구성법을 제시한다. CSS 및 서브시스템 구성법을 통해 비이진 양자 BCH 코드의 새로운 가닥, 최적의 MDS 서브시스템 코드, 비대칭 양자 코드를 수립하며, 주요 결과로는 양자 컨볼루션형 코드에 대한 일반화된 Singleton 경계와 서브시스템 코드의 전파 규칙을 도출한다.

ABSTRACT

It is conjectured that quantum computers are able to solve certain problems more quickly than any deterministic or probabilistic computer. A quantum computer exploits the rules of quantum mechanics to speed up computations. However, it is a formidable task to build a quantum computer, since the quantum mechanical systems storing the information unavoidably interact with their environment. Therefore, one has to mitigate the resulting noise and decoherence effects to avoid computational errors. In this work, I study various aspects of quantum error control codes -- the key component of fault-tolerant quantum information processing. I present the fundamental theory and necessary background of quantum codes and construct many families of quantum block and convolutional codes over finite fields, in addition to families of subsystem codes over symmetric and asymmetric channels. Particularly, many families of quantum BCH, RS, duadic, and convolutional codes are constructed over finite fields. Families of subsystem codes and a class of optimal MDS subsystem codes are derived over asymmetric and symmetric quantum channels. In addition, propagation rules and tables of upper bounds on subsystem code parameters are established. Classes of quantum and classical LDPC codes based on finite geometries and Latin squares are constructed.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 고전적 코드로부터 양자 오류 제어 코드를 체계적으로 구성하는 방법을 개발하기 위해.
• 데코herence와 노이즈에 강건한 코드를 설계하여 고장 내성 양자 계산의 과제를 해결하기 위해.
• 비트 플립과 위상 이동 오류가 서로 다른 확률로 발생하는 비대칭 채널으로의 양자 코드 이론을 확장하기 위해.
• 서브시스템 코드의 이론적 경계와 전파 규칙을 수립하여 코드 파라미터 최적화를 향상시키기 위해.
• 특히 BCH 및 RS 코드로부터 비재해적 양자 컨볼루션형 코드를 유도하는 통합 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• 자기수직인 고전적 코드를 사용하여 $\mathbb{F}_q$ 및 $\mathbb{F}_{q^2}$ 위에서 양자 코드를 유도하기 위해 안정자 포멀리즘을 활용한다.
• 유클리드 및 허미트 이중성의 응용을 통해 고전적 BCH 코드가 이중 포함 조건을 만족할 때 양자 BCH 코드를 구성하는 조건을 규명한다.
• 프로젝티브 기하학과 리드-멀러 코드를 활용하여 파라미터가 향상된 양자 코드를 구성하며, 이를 통해 잘라낸 코드를 포함한다.
• 고전적 순환 및 RS 코드를 이용한 서브시스템 코드 구성법을 도입하여 논리적 큐비트와 게이지 큐비트 차원 간의 상호 교환 가능성을 제공한다.
• 리드-멀러 코드의 준순환 부분군을 활용하여 블록 코드로부터 양자 컨볼루션형 코드를 유도하는 일반적 프레임워크를 개발한다.
• 두 개의 고전적 순환 코드 $C_1$ 및 $C_2$를 사용하여 $C_2^\perp \subseteq C_1$ 조건을 만족하는 CSS 기반 구성법을 제안하여 비균형 오류 보호를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 BCH 코드가 유클리드 또는 허미트 이중성 하에서 자가수직이 되기 위한 조건은 무엇이며, 이를 통해 양자 코드 구성이 가능하게 되는가?
• RQ2 자기수직 조건이 필요 없이 고전적 코드로부터 서브시스템 코드를 체계적으로 구성할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 양자 컨볼루션형 코드에 대한 일반화된 Singleton 경계는 무엇이며, 이는 코드 파라미터에 어떤 제약을 가하는가?
• RQ4 다른 오류 확률을 갖는 두 개의 고전적 순환 코드로부터 비대칭 양자 오류 수정 코드를 도출할 수 있는가?
• RQ5 서브시스템 코드에서 차원 상호 교환을 지배하는 전파 규칙은 무엇이며, 이는 코드의 최적성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 스태빌라이저 포멀리즘을 사용하여 두 가닥의 비이진 양자 BCH 코드를 구성하였으며, 이들의 파라미터는 $\mathbb{F}_q$ 위의 고전적 BCH 코드에서 유도되었다.
• 최적의 MDS 서브시스템 코드 가닥이 도출되었으며, $\mathbb{F}_{13}$ 위에서 파라미터 $[[12,1,3,5]]_q$를 갖는 양자 Singleton 경계를 충족한다.
• 양자 컨볼루션형 코드에 대한 일반화된 Singleton 경계가 수립되었으며, 이는 코드 파라미터에 대한 이론적 한계를 제공한다.
• 전파 규칙이 증명되었으며, $k>1$인 $[[n,k,r,d]]_q$ 서브시스템 코드가 존재할 경우, $[[n,k-1,r+1,\geq d]]_q$ 코드도 존재함을 보였다. 이는 차원 상호 교환을 가능하게 한다.
• 두 개의 고전적 순환 코드 $C_1$ 및 $C_2$를 사용하여 비대칭 양자 오류 수정 코드를 구성하였으며, $C_2^\perp \subseteq C_1$ 조건을 만족하여 비균형 오류 보호를 가능하게 하였다. 예를 들어 $[[12,1,3,5]]$와 같은 코드가 유도되었다.
• 유한 기하학, 라틴 제곱, 순환군의 동치 클래스를 기반으로 한 양자 LDPC 코드 가닥이 도출되었으며, 이는 효율적인 반복적 디코딩을 가능하게 한다.