[논문 리뷰] On Reeb graphs induced from smooth functions on 3-dimensional closed orientable manifolds with finitely many singular values

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 23.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 14인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 주어진 유한하고 연결된 그래프와 양호한 함수, 그리고 간선에 할당된 음이 아닌 정수를 갖는 3차원 닫힘, 연결, 정렬 다성분의 매니폴드 위에 매끄러운 함수를 구성한다. 이 함수의 Reeb 그래프는 주어진 그래프와 동형이며, 각 간선의 정규값에 대한 원상은 지정된 종수를 갖는 닫힘 정렬 곡면이 된다. 특이점은 모스 함수와 접선 맵을 통해 제어되며, 정점과 간선에 대해 명시적인 국소 모델이 제공된다.

ABSTRACT

The Reeb graph of a function on a smooth manifold is the graph obtained as the space of all connected components of level sets such that the set of all vertices coincides with the set of all connected components of level sets including singular points. Reeb graphs are fundamental and important in the algebraic and differential topological theory of Morse functions and their generalizations. In this paper, as a related fundamental and important study, for given graphs, we construct certain smooth functions inducing the graphs as the Reeb graphs. Such works have been demonstrated by Masumoto, Michalak, Saeki, Sharko etc. and also by the author since 2000s. We present new smooth functions on suitable $3$-dimensional closed orientable manifolds through explicit constructive methods.

연구 동기 및 목표

• 주어진 유한하고 연결된 그래프에 대해, 그에 대한 양호한 함수와 간선에 할당된 종수를 갖는 3차원 닫힘, 연결, 정렬 다성분에서의 매끄러운 함수의 Reeb 그래프로 실현하는 구축 방법을 확립하는 것.
• 각 간선의 정규값에 대한 원상의 위상구조를 종수 값을 할당하여 제어함으로써, 주어진 종수를 갖는 닫힘 정렬 곡면이 되도록 보장하는 것.
• 정점에서의 특이점을 모스 함수, 임베딩 함수 또는 높이 함수와의 병합을 통해 명시적으로 모델링하여 정확한 국소 행동을 확보하는 것.
• 결과로 얻어진 다성분이 정렬이며, 전역 함수가 매끄럽고 유한한 수의 특이값을 갖도록 보장하는 것.
• 이전의 Reeb 그래프 실현 결과를 일반화하는 구축 프레임워크를 제공함으로써, 특히 3차원 다성분과 제어된 특이점을 갖는 비-모스 함수에 대해 보다 넓은 적용 가능성을 확보하는 것.

제안 방법

• 그래프 위에 양호한 함수를 정의하여 각 간선에서 단사성을 확보하며, 이는 그래프에 순환선이 없을 때에만 가능하다.
• 정점 주변의 국소 모델을 모스 함수 또는 높이 함수와의 병합을 통해 2차원 볼 위에서 구성하며, 특정한 특이점 유형을 갖도록 한다.
• 각 간선에 대해, 할당된 정수에 해당하는 종수를 갖는 닫힘 정렬 곡면을 섬유로 하는 간선 위의 평탄한 매끄러운 번들의 정의.
• 3차원 다성분에서 2차원 다각형에 사상하는 접선 맵을 구성하여, 점의 원상이 원, 두 개의 원이 연결된 부르마, 또는 l개의 원에서 점을 식별하여 형성된 특정 1차원 다각형이 되도록 한다.
• 유한한 수의 특이점들을 제거한 후 접선 맵의 특이 집합이 임베딩되어 있으며, 이 제거된 점들이 한 개의 원상에 속하도록 보장한다.
• 모든 국소 함수를 미분동형사상으로 붙임으로써, 닫힘, 컴act한 3차원 다성분 위에서 정렬성과 매끄러움을 확보하는 전역 함수를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한하고 연결된 그래프에 대해, 그에 대한 양호한 함수와 간선에 할당된 종수를 갖는 3차원 닫힘, 연결, 정렬 다성분에서의 매끄러운 함수의 Reeb 그래프로 실현 가능한가?
• RQ2 3차원 다성분이 매끄러운 함수를 갖기 위해 필요한 필수 및 충분한 조건은 무엇인가? 이 함수의 Reeb 그래프가 주어진 그래프와 종수 할당이 있는 경우에 대해 동형이 되도록 보장한다.
• RQ3 함수의 특이점은 어떻게 명시적으로 모델링할 수 있는가 (예: 모스, 접선, 또는 임베딩 함수의 병합)? 이로 인해 Reeb 그래프의 구조와 원상 위상이 유지되는가?
• RQ4 이 구축 방법은 비정렬 다성분으로 확장 가능한가? 이 경우 발생하는 위상적 장애물은 무엇인가?
• RQ5 함수의 클래스를 제한함으로써 (예: 모스 함수로 제한) 주어진 Reeb 그래프와 종수 할당을 실현할 수 있는 다성분의 범주에 어떤 제약 조건이 생기는가?

주요 결과

• 유한하고 연결된 그래프 G에 대해, 그에 대한 양호한 함수와 간선에 할당된 음이 아닌 정수를 갖는 3차원 닫힘, 연결, 정렬 다성분 M과 M 위의 매끄러운 함수 f가 존재하여, Reeb 그래프 W_f가 G와 동형이 된다.
• 각 간선의 내부에 속한 정규값의 원상은 해당 간선에 할당된 정수와 동일한 종수를 갖는 닫힘 정렬 곡면이 된다.
• 정점에서 함수 f는 g∘φ의 형태로 값이 취해지며, 여기서 g는 G 위의 양호한 함수이고 φ는 W_f와 G 사이의 동형사상이다.
• 함수 f의 특이점은 모스 함수, 임베딩 함수와 모스 함수의 병합, 또는 높이 함수와의 접선 맵 병합으로 모델링된다.
• 차수 1인 정점에 대해, f의 소근접 환경에서의 제약은 2차원 볼 위의 높이 함수와 접선 맵의 병합이며, 접선 맵은 원상과 특이 집합에 대해 특정한 위상 조건을 만족해야 한다.
• 이 구축은 결과로 얻어진 다성분이 정렬이며, 전역 함수가 매끄럽고 특이값이 유한 개 존재하도록 보장하며, 컴act한 끝을 갖는 개방 다성분에서의 표준 연장 방법을 사용한다.