[논문 리뷰] Reeb spaces of smooth functions on manifolds

Osamu Saeki|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 02.

Topological and Geometric Data Analysis참고 문헌 14인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간이 순환을 갖지 않는 유한한 그래프임을 증명하며, 임의의 이러한 그래프가 주어진 수준 집합 위상 구조를 갖는 매끄러운 함수의 Reeb 공간으로 실현될 수 있음을 보여준다. 또한, 기본군에 대한 전사 사상(induces a surjection on fundamental groups)을 유도하는 닫힌 다변량에서 유한한 루프 없는 그래프로의 연속적 사상은 이러한 함수의 Reeb 공간에 대한 몫사상과 끌림동치임을 보인다.

ABSTRACT

The Reeb space of a continuous function is the space of connected components of the level sets. In this paper we first prove that the Reeb space of a smooth function on a closed manifold with finitely many critical values has the structure of a finite graph without loops. We also show that an arbitrary finite graph without loops can be realized as the Reeb space of a certain smooth function on a closed manifold with finitely many critical values, where the corresponding level sets can also be preassigned. Finally, we show that a continuous map of a smooth closed connected manifold to a finite connected graph without loops that induces an epimorphism between the fundamental groups is identified with the natural quotient map to the Reeb space of a certain smooth function with finitely many critical values, up to homotopy.

연구 동기 및 목표

• 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간의 위상적 구조를 특성화하기 위해.
• 모든 순환을 갖지 않는 유한한 그래프가 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간으로 실현될 수 있음을 증명하기 위해.
• 유한한 순환 없는 그래프로의 닫힌 다변량에서의 연속적 사상에 대한 끌림동치 분류를 Reeb 공간 몫사상에 의해 수립하기 위해.
• 레벨 집합의 미분동형 유형을 정점과 간선에 사전에 지정한 장식된 그래프의 실현 정리를 제공하기 위해.
• 기본군의 전사 사상 조건이 어떤 사상이 Reeb 공간 몫사상과 끌림동치일 조건으로 필수적이고 충분함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 특정 임계값에서 유한한 성분을 가진다는 레마 3.8을 활용하여, 유한한 임계값을 가진 매끄러운 함수의 Reeb 공간이 순환을 갖지 않는 유한한 그래프임을 위상적 기법을 통해 증명한다.
• 손과 정점에서의 비특이 함수와 상수 함수를 접합하여 다변량 위에 매끄러운 함수를 구성하며, 경계 미분동형에 대한 일致 조건을 사용한다.
• 수술 기법을 사용하여 목표 그래프의 간선에 대응하는 (m−1)-차원 부분다변량을 소스 다변량에 임베딩한다.
• 등장하는 구성 요소들의 분리성과 매끄러운 접합을 보장하기 위해 등속성과 튜브근처 영역 구성 기법을 사용한다.
• 정점들을 제외한 그래프의 수축 가능성(contractibility)을 활용하여 몫사상과 주어진 연속적 사상 사이의 끌림동치를 확립한다.
• 레벨 집합 구성 요소의 사전 지정된 미분동형 유형을 표현하기 위해 m-장식된 그래프의 개념을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간은 어떤 위상적 구조를 갖는가?
• RQ2 임의의 순환을 갖지 않는 유한한 그래프는 유한한 임계값과 사전 지정된 수준 집합 위상 구조를 갖는 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간으로 실현될 수 있는가?
• RQ3 닫힌 다변량에서 유한한 순환 없는 그래프로의 연속적 사상이 유한한 임계값을 가진 매끄러운 함수의 Reeb 공간 몫사상과 끌림동치가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 다변량의 기본군과 주어진 그래프가 Reeb 공간으로 실현 가능한 데에 대한 관계는 무엇인가?
• RQ5 주어진 장식된 그래프와 일치하는 Reeb 공간을 갖는 매끄러운 함수를 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간은 항상 순환을 갖지 않는 유한한 그래프이다.
• 모든 순환을 갖지 않는 유한한 그래프는 유한한 임계값을 가진 닫힌 다변량에서의 매끄러운 함수의 Reeb 공간으로 실현 가능하며, 이때 수준 집합 구성 요소의 사전 지정된 미분동형 유형이 존재한다.
• 차원 $m \geq 2$인 연결된 닫힌 다변량에서 유한한 순환 없는 연결 그래프로의 연속적 사상은 오직 그것이 기본군에 대해 전사 사상을 유도할 때에만, 유한한 임계값을 가진 매끄러운 함수의 Reeb 공간 몫사상과 끌림동치이다.
• 기본군 조건은 이러한 끌림동치 실현을 위한 필요 및 충분 조건이다.
• 그래프의 첫 번째 베티 수는 다변량의 기본군의 공계수(co-rank)에 의해 위로부터 유계되어 있으며, 이는 실현 가능성에 대한 위상적 장벽을 제공한다.
• 경로 Reeb 공간은 유한한 임계값을 가진 매끄러운 함수에 대해서도 항상 그래프 구조를 갖는 것은 아니지만, 함수가 유한한 임계점을 가질 경우 표준 Reeb 공간과 일치한다.