[논문 리뷰] On rigid syntomic cohomology with compact support

Bruno Chiarellotto, Alice Ciccioni외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 혼합 특성수 (0, p)의 완비 이산 평가환수 R 위의 스무스 R-스킴에 대해 강성 있는 심토픽 코homology를 컴 pact 지지와 함께 정의하며, 쿠프 곱과 길리스인 사상의 존재를 확립한다. 또한 블로흐의 고차 초우룹을 심토픽 코homology와 연결하는 심토픽 사이클 클래스를 통해 새로운 심토픽 조정자를 정의한다.

ABSTRACT

Let R be a complete discrete valuation ring of mixed characteristic (0; p). For any smooth algebraic R-scheme X we define rigid syntomic cohomology with compact support H n; c (X; i). The definition of rigid syntomic cohomology has been given previ ously by A. Besser. We then prove the existence of a cup product and a Gysin morphism in this setting. As an application of our constructions we give a new definition of a syntomic regulator reg syn : CH i (X; 2i− n)! H n (X; i), by means of a syntomic cycle class. The groups CH i (X; 2i− n) are the Bloch higher Chow groups.

연구 동기 및 목표

• 혼합 특성수 (0, p)에서 스무스 대수적 R-스킴에 대해 강성 있는 심토픽 코homology를 컴 pact 지지와 함께 정의하는 것.
• 이 코homological 프레임워크 내에서 쿠프 곱과 길리스인 사상의 존재를 확립하는 것.
• 심토픽 사이클 클래스를 사용해 새로운 심토픽 조정자를 정의하는 것.
• 블로흐의 고차 초우룹 CH^i(X; 2i−n)을 심토픽 코homology H^n_c(X; i)와 연결하는 것.

제안 방법

• A. Besser가 정의한 이전의 강성 있는 심토픽 코hom로 정의를 기반으로 삼는다.
• 이론을 컴 pact 지지를 포함하도록 확장하기 위해 쌍대성 또는 국소화 구조를 활용한다.
• 심토픽 복합체의 도파이드 카테고리에서의 예나다 페어링을 사용해 쿠프 곱을 구성한다.
• 정규 쌍대의 변형과 강성 코hom로의 쌍대성을 통해 길리스인 사상을 정의한다.
• 조정자를 정의하기 위한 핵심 기하적 대상으로 심토픽 사이클 클래스를 도입한다.
• 사이클 클래스를 사용해 조정자 사상 reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i)를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강성 있는 심토픽 코homology는 혼합 특성수에서 컴 pact 지지를 포함하도록 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 이 코homology 이론 내에서 쿠프 곱과 길리스인 사상의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ3 심토픽 사이클 클래스를 사용해 새로운 조정자 사상을 정의할 수 있는가?
• RQ4 새로운 조정자는 블로흐의 고차 초우룹과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 심토픽 사이클 클래스의 기하학적 및 코homological 의미는 무엇인가?

주요 결과

• 강성 있는 심토픽 코homology를 컴 pact 지지와 함께 정의한 H^n_c(X; i)는 혼합 특성수 (0, p)의 완비 이산 평가환수 위의 스무스 R-스킴에 대해 잘 정의되어 있다.
• 이 코homology 이론 내에서 쿠프 곱의 존재가 입증되어 곱 구조를 가능하게 한다.
• 길리스인 사상이 구성되어 있으며, 이는 닫힌 포함에 의한 프로젝션을 포함하도록 이론을 확장한다.
• 심토픽 사이클 클래스를 통해 새로운 심토픽 조정자 reg_syn: CH^i(X; 2i−n) → H^n_c(X; i)가 정의된다.
• 조정자 사상은 심토픽 코homology 내에서 고차 초우프 사이클의 코homological 실현을 제공한다.
• 이 구성은 강성 있는 심토픽 방법을 사용해 대수적 사이클의 산술적 성질을 연구할 수 있는 새로운 길을 제공한다.