[논문 리뷰] On Robust Utility Maximization

Traian A. Pirvu, Ulrich G. Haussmann|ArXiv.org|2007. 02. 24.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정지 시간에 대한 최적 포트폴리오 선택에서 시간 비일관성을 다루기 위해 투자자의 자산에 수정 항목을 도입함으로써 강건한 기대효용 최적화를 가능하게 한다. 비로그형 utility 함수의 경우, 수정 항목은 보험료와 소비로 분해 가능하며, 이는 랜덤한 투자 기간 동안 전략의 불변성을 보장한다. 이는 브라운 운동 프레임워크 내에서 클락-오우스만-오콘 공식과 쌍대 기법을 통해 명시적으로 특성화된다.

ABSTRACT

This paper studies the problem of optimal investment in incomplete markets, robust with respect to stopping times. We work on a Brownian motion framework and the stopping times are adapted to the Brownian filtration. Robustness can only be achieved for logartihmic utility, otherwise a cashflow should be added to the investor s wealth. The cashflow can be decomposed into the sum of an increasing and a decreasing process. The last one can be viewed as consumption. The first one is an insurance premium the agent has to pay.

연구 동기 및 목표

• 투자 기간이 고정된 날짜가 아니라 정지 시간일 경우 최적 투자 전략의 시간 비일관성을 해결하기 위해.
• 기존의 강건성 결과를 로그형 utility 함수를 초월하여 확장하기 위해. 로그형 utility 함수는 유일하게 수정 없이도 전략의 시간 일관성이 유지되는 경우이다.
• 일반적인 utility 함수에 대해 시간 일관성을 복원하기 위해 자산에 더해진 수정 항목 과정을 특성화하기 위해.
• 수정 항목이 어떻게 자금을 조달할 수 있는지, 특히 그것이 소비 흐름 또는 보험료로 작용하는 조건을 규명하기 위해.
• 스토크래틱 미분법과 쌍대 기법을 사용하여 수정 항목의 유일성과 명시적 표현을 확립하기 위해.

제안 방법

• 랜덤한 투자 기간을 모델링하기 위해 적응형 정지 시간을 갖는 브라운 운동 기반 시장 모델을 사용한다.
• 쌍대 기법과 최소 마르팅게일 측도를 적용하여 동적 최적화 문제를 정적 문제로 변환한다.
• 수정 항목 과정 $ V_x(t) $ 를 도입하며, 이는 증가하는(보험료) 및 감소하는(소비) 성분으로 분해된다.
• 클락-오우스만-오콘 공식을 활용하여 수정 항목을 나타내는 과정 $ \beta(t) $ 를 명시적으로 계산한다.
• 마진 효용 함수의 역함수 $ I(\cdot) $ 와 쌍대 변수 $ \mathcal{Y}_t(x) $ 를 사용하여 최적 자산 과정을 특성화한다.
• 최소 마르팅게일 측도 하에서 자산 과정의 마르팅게일 성질을 활용하여 최적성의 필요 및 충분 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비로그형 utility 함수에 대해 정지 시간에 대해 최적 투자 전략이 강건해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 랜덤한 투자 기간 하에서 시간 일관성을 복원하기 위해 수정 항목을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 수정 항목의 경제적 해석은 무엇이며, 실질적으로는 어떻게 자금을 조달할 수 있는가?
• RQ4 상대적 위험 회피 계수와 경제적 경계 계수의 영향을 받아 수정 항목의 부호와 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 수정 항목은 명시적으로 계산될 수 있으며, 어떤 조건에서 유한 변동 과정이 되는가?

주요 결과

• 로지형 utility 함수를 제외한 모든 경우에서 수정 항목 없이 최적 투자 전략의 강건성은 달성 불가능하다; 나머지 경우는 수정 항목이 필요하다.
• 수정 항목 $ V_x(t) $ 는 유한 변동 과정이며, 증가 과정(보험료)과 감소 과정(소비)으로 분해 가능하다.
• 경계 계수(Prudence coefficient)가 상대적 위험 회피 계수의 두 배 이하일 경우, 수정 항목은 음수이며, 이는 기업이 이를 소비할 수 있음을 의미한다.
• 최적 전략이 시간 일관성이 있는 것은 오직 쌍대 변수 $ \mathcal{Y}_t(x) $ 가 시간에 따라 일정할 때에만 성립하며, 이는 수정 항목에 대한 특정 조건에서만 성립한다.
• 클락-오우스만-오콘 공식을 통해 수정 항목 $ \beta(t) $ 는 명시적으로 계산 가능하며, 계산 가능한 표현을 제공한다.
• utility 함수의 볼록성과 쌍대 기법을 통해 최적 자산 과정의 유일성이 입증된다.