[논문 리뷰] On self-similar sets with overlaps and inverse theorems for entropy in $\mathbb{R}^d$

Michael Hochman|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 31.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 22인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 $\rm{R}^d$ 내 자기유사 집합과 측도에 대해 구조적 이분법을 수립한다: 하우스도르프 차원이 자명한 상한 $\min\{s,d\}$에 도달하거나, 정의된 유사변환의 $n$-중 복합이 초기하적 가까이에 존재한다. 핵심 혁신은 $\rm{R}^d$에서의 컨볼루션에 대한 엔트로피 증가에 대한 역정리로, 이는 차원 감소를 기하학적 농도와 이터레이티드 함수계의 선형 부분의 대칭성과 연결한다.

ABSTRACT

We study self-similar sets and measures on $\mathbb{R}^{d}$. Assuming that the defining iterated function system $Φ$ does not preserve a proper affine subspace, we show that one of the following holds: (1) the dimension is equal to the trivial bound (the minimum of $d$ and the similarity dimension $s$); (2) for all large $n$ there are $n$-fold compositions of maps from $Φ$ which are super-exponentially close in $n$; (3) there is a non-trivial linear subspace of $\mathbb{R}^{d}$ that is preserved by the linearization of $Φ$ and whose translates typically meet the set or measure in full dimension. In particular, when the linearization of $Φ$ acts irreducibly on $\mathbb{R}^{d}$, either the dimension is equal to $\min\{s,d\}$ or there are super-exponentially close $n$-fold compositions. We give a number of applications to algebraic systems, parametrized systems, and to some classical examples. The main ingredient in the proof is an inverse theorem for the entropy growth of convolutions of measures on $\mathbb{R}^{d}$, and the growth of entropy for the convolution of a measure on the orthogonal group with a measure on $\mathbb{R}^{d}$. More generally, this part of the paper applies to smooth actions of Lie groups on manifolds.

연구 동기 및 목표

• 오버랩이 발생할 경우, 특히 유사차원이 자명한 상한보다 작은 경우, $\rm{R}^d$ 내 자기유사 집합에서의 차원 역설을 해결하기 위해.
• 이전에 $\rm{R}$에서 알려진 엔트로피 증가에 대한 역정리를 고차원 공간과 군 작용으로 확장하기 위해.
• 자기유사 측도의 차원이 유사차원보다 낮아지는 경우를 특성화하고, 기저가 감소하거나 복합의 초기하적 가까움과 같은 구조적 원인을 밝혀내기 위해.
• 기저가 감소하지 않는 선형 작용에 대해, 차원 감소는 초기하적 가까운 $n$-중 복합이 존재함을 증명하기 위해.
• 기존의 추측을 수정하여, 대수적 조건과 기저가 감소하지 않는 조건을 고려할 때, 베르누이 컨볼루션, 시어르피스키 삼각형, 매개변수 가중치 가중치 등 고전 문제에 적용하여 수정된 추측이 성립함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 측도의 $\rm{R}^d$에서의 컨볼루션에 대한 엔트로피 증가에 대한 역정리를 개발하여, 낮은 엔트로피 증가가 부분공간에 집중됨을 연결한다.
• 등급군의 작용에 대해 이 정리를 적용하여, 군 컨볼루션 하에서 엔트로피의 행동을 분석한다.
• 다중 척도 분석과 카이모비치-베르시크 보조정리를 사용하여 반복적인 자기컨볼루션에서 엔트로피의 감쇠를 제어한다.
• 측도 성분이 균일하게 집중되는 '포화된 부분공간'의 개념을 도입하여, 이와 차원 손실을 연결한다.
• 전이성과 비퇴화를 피하기 위해, 임의의 매개변수 가중치 가중치에서의 임계도를 분석하기 위해 자코비안 사상 $\Delta_{i,j}$의 랭크와 같은 기하학적 도구를 사용한다.
• 덧셈적 조합론과 대수적 수론의 결과를 적용하여, 대수적 수에서의 비영인 다항식 표현의 하한을 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기유사 집합의 하우스도르프 차원이 $\rm{R}^d$에서의 유사차원 $s$에 도달하지 못하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 오버랩이 있는 자기유사 집합에서의 차원 감소 현상은 이터레이티드 함수계의 기하학적 또는 역학적 성질로 특성화될 수 있는가?
• RQ3 IFS의 선형 부분이 $\rm{R}^d$에서 작용할 때, 특히 기저가 감소하는 경우, 그 영향이 열린 집합의 차원에 어떻게 작용하는가?
• RQ4 자기유사 측도에 대해, 차원이 최대이거나 초기하적 가까운 $n$-중 복합이 존재하는 구조적 이분법이 존재하는가?
• RQ5 예외적인 부분공간을 고려한 수정된 추측은 대수적 IFS나 기저가 감소하지 않는 작용에 대해 증명될 수 있는가?

주요 결과

• IFS의 선형화가 $\rm{R}^d$에서 기저가 감소하지 않게 작용한다면, 자기유사 측도의 차원은 $\min\{s,d\}$이거나, $n$에 대해 초기하적 가까운 $n$-중 복합이 존재한다.
• IFS가 비자명한 선형 부분공간을 보존하는 경우, 전체 공간이 보존되지 않더라도 차원 감소가 발생할 수 있으며, 이는 해당 부분공간에서 성분의 포화와 관련된다.
• 기저가 감소하지 않는 선형 부분을 가진 대수적 IFS의 경우, 수정된 추측이 성립한다: 차원은 초기하적 가까운 복합이 존재하지 않는 한 최대이다.
• 기대값보다 차원이 낮은 매개변수의 집합은 작다(예외적이다), 이는 특정 차이 $\Delta_{i,j}$의 해석성과 비영성에 의해 증명된다.
• IFS의 매개변수 가중치 가중치에서, 일반적인 매개변수에 대해 IFS가 기저가 감소하지 않으면, 차원은 예외적인 매개변수 집합 이외에는 항상 최대이다.
• 핵심 기술적 결과로, 계수가 유계인 다항식 $f$가 대수적 수에 대해 정의될 경우, $f \neq 0$이면 $|f| > c^n$ ($c>0$)를 만족하며, 이는 정확한 오버랩을 배제하는 데 사용된다.