[논문 리뷰] On semitopological interassociates of the bicyclic monoid

Олег Гутік, Kateryna Maksymyk|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 25.

semigroups and automata theory참고 문헌 16인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비사이클릭 모노이드의 반정위상적 상호관계체, $\mathscr{C}_{m,n}$를 비음수 정수 $m$과 $n$에 대해 조사한다. Hausdorff 위상이 $\mathscr{C}_{m,n}$에 주어져 반정위상적 반군이 되게 하면 그 위상은 반드시 이산적임을 증명하며, 국소적으로 컴팩트하고 Hausdorff인 경우 확장된 반군 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$는 이산적 또는 컴팩트임을 보인다.

ABSTRACT

Semitopological interassociates $\mathscr{C}_{m,n}$ of the bicyclic semigroup $\mathscr{C}(p,q)$ are studied. In particular, we show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$ and every Hausdorff topology $τ$ on $\mathscr{C}_{m,n}$ such that $\left(\mathscr{C}_{m,n},τ ight)$ is a semitopological semigroup, is discrete. Also, we prove that if an interassociate of the bicyclic monoid $\mathscr{C}_{m,n}$ is a dense subsemigroup of a Hausdorff semitopological semigroup $(S,\cdot)$ and $I=S\setminus\mathscr{C}_{m,n} eq\varnothing$ then $I$ is a two-sided ideal of the semigroup $S$ and show that for arbitrary non-negative integers $m$, $n$, any Hausdorff locally compact semitopological semigroup $\mathscr{C}_{m,n}^0=\mathscr{C}_{m,n}\sqcup\{0\}$ is either discrete or compact.

연구 동기 및 목표

• 비사이클릭 모노이드 $\mathscr{C}(p,q)$에 의해 정의된 연산 $a \ast_{m,n} b = a q^m p^n b$를 통해 정의되는 반정위상적 상호관계체 $\mathscr{C}_{m,n}$의 위상적 성질을 분석한다.
• 비사이클릭 모노이드에 대한 기존 결과—예를 들어 이산 위상의 유일성과 0이 존재할 경우의 이산/콤팩트 이분법—을 그 상호관계체로 확장한다.
• Hausdorff 반정위상적 반군 $S$에서 $\mathscr{C}_{m,n}$가 조밀한 부분반군일 때, 잔여부분 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$의 성격을 특히 조사한다.
• Hausdorff 국소적으로 컴팩트 반정위상적 위상에서 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$의 위상적 행동을 규명한다.

제안 방법

• 하나의 부분반군 $\mathscr{C}_{m,n}^* = \{q^{n+k}p^{m+l} \mid k,l \in \mathbb{N}_0\}$과 원래의 비사이클릭 반군 $\mathscr{C}(p,q)$ 사이의 동형사상 활용으로 기존 성질을 이전할 수 있다.
• 유도된 위상에서의 몫공간 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$ 분석을 위해 유도된 연속 사상과 Din’ N’e T’ong의 정리를 적용한다.
• 반정위상적 반군에서의 컴팩트 이상의 개념을 활용하며, Hausdorff 반정위상적 반군에서 컴팩트 이상을 몫으로 나눈 결과 역시 Hausdorff이자 반정위상적임을 이용한다.
• 자연스러운 준동형사상이 유도된 연속 사상이면서 각 점의 역상이 컴팩트이면, 몫공간이 국소적으로 컴팩트임을 이용한다.
• $\mathscr{C}_{m,n}^I$에서 열린 집합과 닫힌 집합의 구조를 분석하여, 이상 $I$가 열려 있지 않다면 공간이 반드시 컴팩트임을 보인다.
• 반정위상적 반군에서의 반군 연산의 개별 연속성에서 유도된 $\mathscr{C}_{m,n}$의 이산성 특성을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 위상에서 $\mathscr{C}_{m,n}$의 반군 연산이 개별적으로 연속적이며, 그 위상적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ2 Hausdorff 반정위상적 구조에서 $\mathscr{C}_{m,n}$가 이산적이지 않은가?
• RQ3 $\mathscr{C}_{m,n}$가 Hausdorff 반정위상적 반군 $S$의 조밀한 부분반군일 때, 잔여부분 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n}$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 Hausdorff 국소적으로 컴팩트 위상에서 확장된 반군 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$에 대해 이산 또는 컴팩트라는 위상 이분법이 존재하는가?
• RQ5 반군 $\mathscr{C}_{m,n}^I$에 컴팩트 이상 $I$가 존재할 경우, 이는 공간의 전반적 위상에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 비음수 정수 $m$과 $n$에 대해, $\mathscr{C}_{m,n}$에 주어진 Hausdorff 위상이 반정위상적 반군이 되게 하면 그 위상은 반드시 이산적이다.
• $\mathscr{C}_{m,n}$이 Hausdorff 반정위상적 반군 $S$의 조밀한 부분반군이고 $I = S \setminus \mathscr{C}_{m,n} \neq \varnothing$이면, $I$는 $S$의 양방향 이상이 된다.
• 확장된 반군 $\mathscr{C}_{m,n}^0 = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup \{0\}$는 어떤 Hausdorff 국소적으로 컴팩트 반정위상적 위상에서도 이산적이거나 컴팩트이다.
• $\mathscr{C}_{m,n}^I = \mathscr{C}_{m,n} \sqcup I$가 Hausdorff 국소적으로 컴팩트 반정위상적 반군이고 $I$가 컴팩트 이상이면, $\mathscr{C}_{m,n}^I$는 컴팩트이거나 $I$는 열려 있다.
• Rees 몫 $\mathscr{C}_{m,n}^I / I$는 몫 위상에서 $\mathscr{C}_{m,n}^0$과 위상적으로 동형이며, Hausdorff 및 국소적으로 컴팩트 성질을 이어받는다.
• 자연스러운 몫사상 $\pi: \mathscr{C}_{m,n}^I \to \mathscr{C}_{m,n}^I / I$는 유도된 연속 사상이며, 이는 Din’ N’e T’ong의 정리를 적용하여 몫공간의 컴팩트성을 도출할 수 있다.