[논문 리뷰] On Shimura curves in the Torelli locus of curves

Xin Lü, Kang Zuo|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 22.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선을 조사하며, $ g /geq 5 $ 인 반안정 곡선의 경우 무름프 유형의 쇠무라 곡선이 일반적으로 존재하지 않음을 증명하고, $ g /geq 8 $ 인 초타원곡선의 경우도 일반적으로 쇠무라 곡선이 존재하지 않음을 보이며, 이로써 오르트의 추측을 이러한 경우에 확인한다. 또한, 성별 3 및 4인 경우에 대해 토렐리 위치 내에서의 쇠무라 곡선에 대한 구체적인 예를 제시한다.

ABSTRACT

Oort has conjectured that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of curves of genus $g \geq 8$. We show that there do not exist one-dimensional Shimura families of semi-stable curves of genus $g\geq 5$ of Mumford type. We also show that there do not exist Shimura curves lying generically in the Torelli locus of hyperelliptic curves of genus $g\geq 8$. The first result proves a slightly weaker form of the conjecture for the case of Shimura curves of Mumford type. The second result proves the conjecture for the Torelli locus of hyperelliptic curves. We also present examples of Shimura curves contained generically in the Torelli locus of curves of genus $3$ and $4$.

연구 동기 및 목표

• 성별 $ g \geq 8 $ 인 곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선이 일반적으로 존재하는지 조사하는 것, 오르트의 추측에 따라.
• 성별 $ g \geq 5 $ 인 무름프 유형의 반안정 곡선에 대한 일차원 쇠무라 가족의 존재하지 않음을 입증하는 것.
• 성별 $ g \geq 8 $ 인 초타원곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선이 일반적으로 존재하지 않는지 검증하는 것.
• 성별 3 및 4 곡선에 대해 토렐리 위치 내에서 일반적으로 포함되는 쇠무라 곡선의 구체적인 예를 제작하는 것.
• 쇠무라 가족을 식별하는 데 핵심적인 불변량으로서의 허그 필드 최대성과 아라켈로프 부등식을 분석하는 것.

제안 방법

• 기저 곡선 $ B $ 위에서 아벨 다양체의 호지 구조를 분석하기 위해 로그 허그 필드 백터의 이론을 사용하고, 분해 $ (E, \theta) = (A^{1,0} \oplus A^{0,1}, \theta|_{A^{1,0}}) \oplus (F^{1,0} \oplus F^{0,1}, 0) $ 를 적용한다.
• 등호가 성립할 경우 최대 허그 필드를 나타내므로, 아라켈로프 부등식 $ \deg A^{1,0} \leq \frac{\text{rank } A^{1,0}}{2} \cdot \deg \Omega^1_B(\log \Delta_{nc}) $ 를 적용한다.
• 가장 엄격하게 최대 허그 필드를 갖는 가족은 오직 무름프 유형의 쇠무라 가족일 때에만 존재한다는 기준을 적용한다.
• 엄격하게 최대 허그 필드이면 아라켈로프 부등식이 도달되며, 이는 쇠무라 가족을 특징짓는다.
• 갈루아 군이 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ 인 $ \mathbb{P}^1 $ 의 아벨 쌍대를 통한 구체적인 곡선 가족을 제작하고, 허그 필드 최대성에 의해 그 쇠무라 성격을 검증한다.
• 데종-즈항 및 무텐의 $ p $-진 호지 이론과 순환 쌍대에 관한 결과를 적용하여, 특정 가족이 토렐리 위치 내에서 일반적으로 포함되지 않음을 배제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성별 $ g \geq 8 $ 인 곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선이 존재하는가?
• RQ2 성별 $ g \geq 5 $ 인 반안정 곡선에 대해 무름프 유형의 일차원 쇠무라 가족이 존재할 수 있는가?
• RQ3 성별 $ g \geq 8 $ 인 초타원곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선이 일반적으로 존재하는가?
• RQ4 곡선의 가족이 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선을 유도하는 데 필요한 기하학적 및 호지 이론적 조건은 무엇인가?
• RQ5 성별 3 및 4인 곡선에 대해 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선의 구체적인 예를 제작할 수 있는가?

주요 결과

• 성별 $ g \geq 5 $ 인 반안정 곡선에 대해 무름프 유형의 일차원 쇠무라 가족은 존재하지 않으며, 이는 오르트의 추측의 더 약한 형태를 확인한다.
• 성별 $ g \geq 8 $ 인 초타원곡선의 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선은 일반적으로 존재하지 않으며, 이는 이 경우 오르트의 추측을 완전히 확인한다.
• 성별 3 및 4 곡선에 대해 토렐리 위치 내에서 쇠무라 곡선의 구체적인 예를 제작하여, 저성별에서는 이러한 가족이 존재할 수 있음을 보여준다.
• 성별 4의 예에서, $ \deg f_*\Omega^1_{S/B}(\log \Upsilon) = 4 $, $ \text{rank } A^{1,0} = 4 $, $ \delta_f = 12 $ 이며, 엄격하게 최대 허그 필드임을 확인한다.
• 성별 4의 가족은 $ \omega_{S/B}^2 = 36 $ 이며, $ c_1^2(\Omega_S^1(\log D)) = 72 = 3c_2(\Omega_S^1(\log D)) $ 를 만족하므로 $ S \setminus D $ 는 볼 몰입이다.
• 성별 4의 쇠무라 곡선은 비완전하며, $ \Delta_{nc} \neq \emptyset $ 이므로, 갈루아 군이 $ \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 $ 인 $ \mathbb{P}^1 $ 의 아벨 쌍대의 가족과 동형이다.