[논문 리뷰] On Shimura varieties for unitary groups

Michael Rapoport, Brian D. Smithling외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 특수한 서명 유형을 초월해 추가 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 문제를 균일하게 표현하는 유니타리 군에 대한 새로운 졸리미다리의 클래스를 도입한다. p-정수적 및 전지적 정수적 모델을 수립하고, 이러한 모델의 평탄성과 미분가능성을 증명하며, 간–그로스–프라사드 및 쿠들라–라포르프 추측에 핵심적인 산술 사이클을 자연스럽게 수용함으로써 이전의 간접적 구성보다 더 기하학적이고 분석 가능성이 높은 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

This is a largely expository article based on our previous work on arithmetic diagonal cycles on unitary Shimura varieties. We define a class of Shimura varieties closely related to unitary groups which represent a moduli problem of abelian varieties with additional structure, and which admit interesting algebraic cycles. We generalize to arbitrary signature type the results of our previous work valid under special signature conditions. We compare our Shimura varieties with other unitary Shimura varieties.

연구 동기 및 목표

• 모든 서명 유형에 대해 균일하게 추가 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 문제를 표현하는 유니타리 군에 대한 새로운 졸리미다리의 변종을 정의하는 것, 특수한 서명 유형을 초월하여 일반화하는 것.
• K = Kp × Kp 이고 Kp 가 파라호릭일 때 이러한 졸리미다리의 p-정수적 모델을 구성하여 코트위츠의 초특수 케이스를 일반화하는 것.
• 이러한 p-정수적 모델의 평탄성과 미분가능성을 확립하여 이전 구성에서의 핵심 기술적 장애물을 해결하는 것.
• 가짜 드리플린 서명 케이스에서 전지적 정수적 모델을 정의하여 산술 교차 이론에의 적용을 가능하게 하는 것.
• 이러한 졸리미다리가 산술 간–그로스–프라사드 및 쿠들라–라포르프 추측에 등장하는 대수적 사이클을 자연스럽게 수용한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 저자들은 유니타리 군의 모듈리 문제를 확장하여 새로운 졸리미다리 데이터를 정의함으로써, 모든 서명 유형에 걸쳐 균일한 모듈리 해석이 가능하도록 보장한다.
• 지역 모델 이론과 PEL 데이터의 형식을 사용하여 p-정수적 모델을 구성함으로써, 키신–파파스의 결과를 파라호릭 수준 구조로 일반화한다.
• 지역 모델과 그 기저 변화의 세부 분석을 통해 p-정수적 모델의 평탄성과 미분가능성을 확립하며, 특히 지역 모델 다이어그램의 형식을 활용한다.
• 가짜 드리플린 케이스에서 지역 모델 기법과 정수적 극대 모델 이론을 조합하여 전지적 정수적 모델을 구성한다.
• 핵심 기술적 도구는 국소 환 위에서의 자기쌍대 다중사슬과 그에 관련된 극화된 다중사슬의 사용이며, 동형사상 함수가 표현 가능하고 미분가능하다는 것이 입증된다.
• 평탄성의 증명은 특정 Q-구조의 상과 그 직교보완의 포함 조건을 확인하는 데 기반하며, 아이젠슈타인 조건을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특수한 케이스를 초월해 모든 서명 유형에 대해 작동하는 균일한 모듈리 이론적 구성이 가능한가, 즉 유니타리 군에 대한 졸리미다리를 모든 서명 유형에 대해 균일하게 정의할 수 있는가?
• RQ2 수준 구조가 p에서 파라호릭일 때 이러한 졸리미다리에 대해 p-정수적 모델이 존재하는가, 그리고 그것들이 평탄하거나 미분가능한가?
• RQ3 가짜 드리플린 서명 케이스에서 전지적 정수적 모델을 구성할 수 있는가, 그리고 그 기하학적 성질은 무엇인가?
• RQ4 이 새로운 졸리미다리는 델리뉴–코트위츠의 전통적인 유니타리 졸리미다리와 간–그로스–프라사드 유형의 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 새로운 졸리미다리가 산술 간–그로스–프라사드 및 쿠들라–라포르프 추측에 요구되는 대수적 사이클을 자연스럽게 수용하는가?

주요 결과

• 새로운 졸리미다리는 모든 서명 유형에 걸쳐 추가 구조를 가진 아벨 다양체의 모듈리 문제를 균일하게 표현하며, 이는 이전 구성의 한계를 해결한다.
• 모든 파라호릭 수준 구조 Kp 에 대해 p-정수적 모델이 구성되었으며, 이는 코트위츠의 초특수 케이스를 일반 파라호릭 수준군으로 일반화한 것이다.
• 적절한 조건 하에서 p-정수적 모델이 평탄하고 미분가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 이러한 다양체의 산술적 연구에서의 핵심 기술적 과제를 해결한다.
• 가짜 드리플린 서명 케이스에서 전지적 정수적 모델이 구성되었으며, 이는 산술 교차 문제에 대한 기하학적 프레임워크를 제공한다.
• 이 새로운 졸리미다리는 산술 간–그로스–프라사드 및 쿠들라–라포르프 추측에 핵심적인 대수적 사이클을 자연스럽게 수용하며, 추측의 프레임워크에서 요구되는 그대로의 성질을 갖는다.
• 지역 모델의 형식과 지역 모델 다이어그램이 분비형 A의 비분기 PEL 자료에 대해 p = 2 에까지 확장되어, 이론이 전체 일반성, 특히 소수 2 에서도 유효함을 보장한다.