[논문 리뷰] The supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction

Haifeng Wu|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 람프리드 소수에서 이국적인 양호한 균형을 갖는 유니타리 슈미라 다양체의 초특이 다양체에 대해, 라포포르트-지크 공간과 아핀 덜레인-루스티그 다양체를 사용하여 군론적 기술을 제공한다. 초특이 다양체는 브라하트-티츠 건물에 의해 분할된 덜레인-루스티그 다양체의 합집합이며, 그 차원은 $[\frac{n-1}{2}]$임을 증명한다. 또한, $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 내의 이중 코셋에 의해 매개되는 기약 성분을 지닌다.

ABSTRACT

In this paper, we use a group-theoretic approach to give a concrete description of the geometric structure of the supersingular locus of unitary Shimura varieties with exotic good reduction. This approach also is a more uniform way to prove results of this form obtained previously by, for example, Vollaard-Wedhorn and Rapoport-Terstiege-Wilson.

연구 동기 및 목표

• 이국적인 양호한 균형을 갖는 유니타리 슈미라 다양체의 초특이 다양체에 대한 구체적인 기하학적 기술을 제공하기 위해.
• 코엑스터 타입 슈미라 다양체의 기본 다양체에 관한 이전 결과들을 군론적 프레임워크를 사용해 통합하고 일반화하기 위해.
• 코엑스터 타입의 PEL 형식 슈미라 다양체의 기본 다양체를 분석하는 통일된 방법을 수립하기 위해.
• 초특이 다양체가 순수 차원이며, 브라하트-티츠 건물에 의해 지배되는 닫힘 관계를 갖는 덜레인-루스티그 다양체로 분할됨을 증명하기 위해.

제안 방법

• 라포포르트-지크 공간과 $p$-진 균형화를 사용하여 초특이 다양체를 아핀 덜레인-루스티그 다양체와 연결하기 위해.
• 와이드 및 스피너 조건을 통해 위상적으로 평탄한 국소 모델을 구성하여 진정한 정수 모델 $\mathcal{A}^e$를 정의하기 위해.
• 디에우당 이론을 적용하여 라포포르트-지크 공간의 $\overline{\mathbb{F}}_p$-점과 아핀 덜레인-루스티그 다양체 사이의 전단사 사상을 확립하기 위해.
• 루스티그의 분할과 핵심 보조정리를 사용하여 군 측면의 덜레인-루스티그 다양체를 RZ 측면의 열린 BT 분할로 식별하기 위해.
• 덜레인-루스티그 다양체의 닫힘의 정규성을 활용하여 브라하트-티츠 건물에 의해 지배되는 닫힘 관계를 기술하기 위해.
• $p$-진 균형화 정리를 사용하여 초특이 다양체가 감소된 라포포르트-지크 공간의 유한한 서로소 합집합의 몫들과 동형임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 람프리드 소수에서 이국적인 양호한 균형을 갖는 유니타리 슈미라 다양체의 초특이 다양체의 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ2 이러한 슈미라 다양체의 기본 다양체는 군론적 방법을 사용하여 다양한 경우에 대해 통일적으로 어떻게 기술할 수 있는가?
• RQ3 $\mathrm{GU}(1,n-1)$ 에 대해 단위 슈미라 다양체 $\mathrm{Sh}_{C^p}(\mathbb{G},h)$ 의 람프리드 소수에서 초특이 다양체의 차원은 얼마인가?
• RQ4 초특이 다양체의 기약 성분과 연결 성분은 어떤 산술적 자료에 의해 매개되는가?
• RQ5 브라하트-티츠 건물은 초특이 다양체의 분할 간의 닫힘 관계를 어떻게 지배하는가?

주요 결과

• 초특이 다양체 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 는 순수 차원 $[\frac{n-1}{2}]$ 을 갖는다.
• $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 의 기약 성분은 이중 코셋 $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/K_{\mathrm{max}} \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 와 일대일 대응된다.
• $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 의 연결 성분은 $\mathbb{I}(\mathbb{Q})\backslash(J(\mathbb{Q}_p)/J^0 \times \mathbb{G}(\mathbb{A}^{p}_f)/C^p)$ 에 의해 매개되며, 여기서 $J^0$ 은 코트위츠 불변량이 자명한 원소들의 부분군이다.
• 초특이 다양체는 $p$-진 균형화 사상에 의해 유한한 서로소 합집합의 몫 $\coprod_{i=1}^m \Gamma_i \backslash \mathcal{N}^{e}_{\mathrm{red}}$ 와 동형이다.
• $n$ 이 짝수일 경우, 진정한 정수 모델 $\mathcal{A}$ 는 $\mathcal{O}_{E_v}$ 에 대해 평탄하며, 이 경우 $\mathcal{A}^e = \mathcal{A}$ 이다.
• 초특이 다양체 $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 는 $\mathcal{A}^e$ 의 감소된 특수 섹션과 일치한다. 즉, $\mathcal{A}^{\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}} = \mathcal{A}^{e,\mathrm{ss}}_{\mathbb{F}}$ 이다.