[논문 리뷰] On some classes of Abel-Grassmann's groupoids

Madad Khan, Faisal Faisal외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 28.

semigroups and automata theory참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨-그라스만 군oids(AG-groupoids)에서 왼쪽 항등원을 가진 구조에서 다양한 정규성 클래스—약한 정규, 내부 정규, 오른쪽 정규, 왼쪽 정규, 왼쪽 준정규, 완전 정규—사이의 구조적 동치성을 조사한다. 이는 이러한 정규성 개념들이 그러한 구조에서 모두 동일하다는 것을 증명함으로써 완전한 동치성을 확립한다. 주요 기여는 이러한 정규성 개념들을 하나의 프레임워크 안에서 통합하여, AG-groupoids에서 왼쪽 항등원을 가진 경우 모든 형태의 정규성이 동치임을 보이고, 군oids가 자신의 제곱과 같다는 것을 의미한다(S = S²).

ABSTRACT

In this paper, we have investigated different classes of an AG-groupoid by their structural properties. We have prove that weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular coincide in an AG-groupoid with left identity and in AG^{**}-groupoid. Further we have prove that every regular (weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular, completely regular) AG-groupoid with left identity (AG^{**}-groupoid) is regular but the converse is not true in general. Also it has been shown that non-associative regular, weakly regular, intra-regular, right regular, left regular, left quasi regular and completely regular AG^{*} groupoids do not exist.

연구 동기 및 목표

• 아벨-그라스만 군oids(AG-groupoids)의 다양한 정규성 클래스의 구조적 성질을 조사하는 것.
• 약한 정규, 내부 정규, 오른쪽 정규, 왼쪽 정규, 왼쪽 준정규, 완전 정규 등의 다양한 정규성 개념이 일치하는 조건을 규명하는 것.
• AG-groupoids에서 정규성과 대수적 구조 S = S² 사이의 관계를 명확히 하는 것.
• 정규성 개념이 항등식 (ab)c = b(ac)를 만족하는 AG∗-groupoids에서 정의될 수 있는지 조사하는 것.

제안 방법

• AG-groupoids에서 기본적인 항등식으로서 왼쪽 역전 법칙 (ab)c = (cb)a와 중간 법칙 (ab)(cd) = (ac)(bd)를 사용하는 것.
• 왼쪽 항등원 성질 a(bc) = b(ac)을 갖는 AG-groupoids에서 파라메디알 법칙 (ab)(cd) = (dc)(ba)를 적용하는 것.
• 항등식 (1)–(4)와 정리 1을 사용하여 정규성 클래스 간의 동치성을 대수적 변환을 통해 증명하는 것.
• S = S²가 정규성을 이르키지 않는다는 것을 보여주기 위해 반례를 구성하는 것으로, 역은 일반적으로 참이 아님을 입증하는 것.
• AG∗-groupoids에서 순열 기반 항등식을 사용하여 정규성이 교환 법칙을 가진 준군의 구조를 이끌어내는 것.
• 레마와 정리를 통해 등가 체인을 확립하는 것—예를 들어, 약한 정규성이 대입과 항등식 적용을 통해 오른쪽 정규성과 왼쪽 정규성을 이끌어내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 항등원이 존재하는 경우, 약한 정규, 내부 정규, 오른쪽 정규, 왼쪽 정규, 왼쪽 준정규, 완전 정규 AG-groupoids는 동일한가?
• RQ2 S = S² 조건은 AG-groupoids에서 정규성에 충분한가?
• RQ3 정규성 개념은 AG∗-groupoids에서 일관되게 정의될 수 있는가?
• RQ4 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoids에서 약한 정규성과 다른 정규성 클래스 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 S = S²가 AG-groupoid가 정규임을 이끌어내는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoid에서, 약한 정규, 내부 정규, 오른쪽 정규, 왼쪽 정규, 왼쪽 준정규, 완전 정규 등 모든 정규성 클래스는 상호 동치이다.
• 논문은 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoids에서 모든 정규성 클래스에 대해 S = S²가 성립함을 증명하지만, 그 역은 일반적으로 참이 아니라는 것을 보여준다.
• S = S²가 정규성을 이르키지 않는다는 것을 보여주는 반례가 제시되며, 이는 여섯 개의 원소로 이루어진 AG-groupoid에서 S = S²이지만 d와 같은 원소들이 정규가 아니라는 점을 통해 입증된다.
• 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoids에서, 약한 정규성은 대수적 항등식과 대입을 통해 오른쪽 정규성과 왼쪽 정규성을 이끌어낸다.
• 왼쪽 항등원을 가진 AG-groupoids에서 모든 정규성 클래스는 정규성을 이끌어내며, 그 역은 참이 아니며, 이는 추가 조건(예: 등幂성 또는 교환법칙)이 없으면 (ax)a = (ax)(ay)가 성립하지 않는다는 점에서 입증된다.
• AG∗-groupoids에서는 어떤 형태의 정규성(약한, 내부, 오른쪽, 왼쪽, 왼쪽 준정규, 완전 정규)이 존재할 경우, S = S²와 항등식 (6)이 교환법칙을 강제함으로써 구조가 교환 법칙을 가진 준군이 된다.