[논문 리뷰] On Some Finite Sums with Factorials

Бранко Драгович|ArXiv.org|2004. 04. 27.

advanced mathematical theories참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 팩토리얼과 다항식을 포함하는 유한합에 대한 일반적인 합공식을 유도하며, 형태 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$의 표현이 $v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$로 단순화됨을 보여준다. 여기서 $A_{k-1}(n)$은 다항식이다. 주요 기여는 왼쪽 팩토리얼에 대한 쿠레파의 가설과 무한히 많은 새로운 동치관계를 설정한 것으로, 이러한 합의 약수 성질이 여전히 미해결인 수론적 추측과 연결됨을 보여준다.

ABSTRACT

The summation formula $$ \sum^{n-1}_{i=0}ε^i i! (i^k+u_k) = v_k+ε^{n-1} n! A_{k-1}(n) $$ $(ε=\pm 1; k=1,2,...; u_k, v_k\in \msbm\hbox{Z}; A_{k-1}$ is a polynomial) is derived and its various aspects are considered. In particular, divisibility with respect to $n$ is investigated. Infinitely many equivalents to Kurepa's hypothesis on the left factorial are found.

연구 동기 및 목표

• 다항식 $P_k(i)$의 차수 $k$에 대해 형태 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! P_k(i)$의 닫힌형 합공식을 유도하는 것.
• 이러한 합의 약수 성질을 분석하며, 특히 $n!$과 소인수에 대해 고려하는 것.
• 쿠레파의 가설(KH)과의 새로운 연결 고리를 설정하는 것. KH는 $n \geq 2$일 때 $(!n, n!) = 2$임을 주장한다.
• 재귀관계와 $p$-adic 분석을 통해 쿠레파의 가설에 대한 무한히 많은 새로운 동치 표현을 도출하는 것.

제안 방법

• 이항 전개와 텔레스코핑 합을 통해 $S_k^\varepsilon(n) = \sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! i^k$에 대한 재귀관계를 유도한다.
• 함수방정식 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$을 만족하는 다항식 $A_{k-1}(n)$을 도입하여 합공식을 가능하게 한다.
• 크로네커 델타와 이항계수를 사용하여 $S_k^\varepsilon(n)$을 저차수 합으로 재귀적으로 표현한다.
• $\mathbb{F}_p$에서 페르마의 소정리를 적용하여 고차수 단항식 $i^{k + r(p-1)}$을 모듈로 $p$에서 $i^k$와 연결한다.
• 특히 $u_k \not\equiv 0 \pmod{p}$일 때, 모듈로 $p$에서의 새로운 합동 조건이 쿠레파의 가설과 동치임을 증명한다.
• 무한대 방향으로의 $p$-adic 극한을 분석하여 $n \to \infty$일 때 합이 $\mathbb{Q}_p$에서 $v_k$로 수렴함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 형태 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k)$에 대해 일반적인 닫힌형 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 합이 $n!$이나 소수 $p$로 나누어 떨어지기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 $u_k$와 $v_k$의 계수는 합의 구조와 쿠레파의 가설과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 쿠레파의 가설과 동치인 합동 기반 문장이 무한히 많은가?
• RQ5 무한급수 $\sum_{i=0}^{\infty} \varepsilon^i i! i^k$의 $p$-adic 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 합공식 $\sum_{i=0}^{n-1} \varepsilon^i i! (i^k + u_k) = v_k + \varepsilon^{n-1} n! A_{k-1}(n)$이 성립하는 것은 $A_{k-1}(n)$이 재귀관계 $(n+1)A_{k-1}(n+1) - \varepsilon A_{k-1}(n) = n^k + A_{k-1}(1) - \varepsilon A_{k-1}(0)$을 만족할 때에 한하여 성립한다.
• $\varepsilon = 1$일 때, $u_k$의 첫 번째 몇 가지 값은 $u_1 = 0$, $u_2 = 1$, $u_3 = -1$, $u_4 = -2$, $u_5 = 9$, $u_6 = -9$이며, $v_k$ 값은 $v_1 = -1$, $v_2 = 1$, $v_3 = 1$, $v_4 = -5$, $v_5 = 5$, $v_6 = 21$이다.
• 소수 $p$에 대해 $u_k$가 $p$로 나누어지지 않을 경우, 합동식 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^k \not\equiv v_k \pmod{p}$는 쿠레파의 가설과 동치이다.
• 무한히 많은 새로운 쿠레파의 가설과의 동치관계가 도출되었으며, 예를 들어 $p > 2$일 때 $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^2 \not\equiv 1 \pmod{p}$, $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^3 \not\equiv 1 \pmod{p}$, $\sum_{i=0}^{p-1} i! i^4 \not\equiv -5 \pmod{p}$ 등이다.
• $p$-adic 설정에서 무한급수 $\sum_{i=0}^{\infty} i! i^k$는 $\mathbb{Q}_p$에서 $v_k$로 수렴하며, 쿠레파의 가설은 왼쪽 팩토리얼 $!p$의 $p$-adic 비영성과 동치이다.
• $\mathbb{F}_p$에서 $(u_{p-1}+1)!p = v_{p-1}+1$, $(u_p+1)!p = v_p+1$ 등과 같은 항등식이 성립하며, 이는 쿠레파의 가설의 진위와 독립적이다.