[논문 리뷰] On some questions of Eymard and Bekka concerning amenability of homogeneous spaces and induced representations

Vladimir Pestov|ArXiv.org|2002. 12. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 호모틱 해석학과 표현 이론에서 오랫동안 남아 있던 세 가지 문제를 해결한다. 즉, 동차 공간의 애먼블리티와 유도 표현에 관한 문제들이다. 이는 닫힌 부분군 $F \subset H \subset G$를 갖는 이산군 $G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$를 구성함으로써, $G/F$는 Eymard–Greenleaf 애먼블리티를 갖지만 $H/F$는 그렇지 않음을 보여, $G/F$의 애먼블리티가 $H/F$의 애먼블리티를 함의하지는 않음을 입증한다. 그 결과, 원래 표현 $\rho$가 애먼블리티가 아니어도 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 애먼블리티가 될 수 있음을 보이며, $\rho$와 $G/H$가 모두 애먼블리티일지라도 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 애먼블리티가 아닐 수 있음을 보여, Eymard와 Bekka의 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다.

ABSTRACT

Let $F\subseteq H\subseteq G$ be closed subgroups of a locally compact group. In response to a 1972 question by Eymard, we construct an example where the homogeneous factor-space $G/F$ is amenable in the sense of Eymard-Greenleaf, while $H/F$ is not. (In our example, $G$ is discrete.) As a corollary which answers a 1990 question by Bekka, the induced representation $\ind_H^G(ρ)$ can be amenable in the sense of Bekka even if $ρ$ is not amenable. The second example, answering another question by Bekka, shows that $\ind_H^G(ρ)$ need not be amenable even if both the representation $ρ$ and the coset space $G/H$ are amenable.

연구 동기 및 목표

• 1972년 Eymard가 제기한 질문, 즉 닫힌 부분군 $F \subset H \subset G$에 대해 $G/F$의 애먼블리티가 $H/F$의 애먼블리티를 함의하는가를 해결하는 것.
• 1990년 Bekka가 제기한 질문, 즉 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 애먼블리티일 경우 원래 표현 $\rho$도 애먼블리티여야 하는가를 해결하는 것.
• Bekka가 제기한 질문을 바탕으로, $\rho$와 $G/H$가 모두 애먼블리티일 경우 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 반드시 애먼블리티여야 하는가를 조사하는 것.
• 반드시 성립하지 않는 것으로 보이는 함의관계를 반증하기 위해, 반직접곱과 $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$ 내의 격자 작용을 이용한 구체적 반례를 구성하는 것.
• 국소 콪수군에서 동차 공간, 표현, 그리고 유도 표현 간의 애먼블리티 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 이산군 $G = \mathbb{Z} \ltimes F_\infty$를 구성하며, 여기서 $F_\infty$는 자유군이고 $\mathbb{Z}$는 생성자를 이동시키는 방식으로 작용하여 반직접곱을 이룬다.
• 부분군 $F = \Gamma_0 \subset H = F_\infty \subset G$를 정의하며, $\Gamma_n$은 $F_\infty$의 코너지 부분군들이다.
• 유한 부분집합들이 큰 $n$에 대해 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 위에서 자명하게 작용한다는 사실을 이용하여, $G/F$가 애먼블리티임을 보이기 위해, quasi-regular 표현 $\lambda_{G/F}$가 거의 불변 벡터를 갖는다는 것을 증명한다.
• $H/F$가 자유군과 동형임을 보이고, 자유군은 비-애먼블리티이므로, Eymard의 질문에 대한 반례를 제공한다.
• $\mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$의 성질 (T)과 Mackey의 재귀 정리(Reciprocity Theorem)를 이용하여, $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$, 그리고 $H$의 유한차원 비자명한 기약 표현 $\pi$를 갖는 두 번째 반례를 구성한다.
• Bekka의 애먼블리티 기준을 적용하여, $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$가 비자명한 불변 벡터를 갖지 않으며, 따라서 성질 (T)로 인해 애먼블리티일 수 없음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 닫힌 부분군 $F \subset H \subset G$에 대해, 동차 공간 $G/F$의 애먼블리티가 $H/F$의 애먼블리티를 함의하는가?
• RQ2 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 애먼블리티일 경우, 원래 표현 $\rho$도 애먼블리티여야 하는가?
• RQ3 만약 표현 $\rho$와 코셋 공간 $G/H$가 모두 애먼블리티일 경우, 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\rho)$가 반드시 애먼블리티여야 하는가?
• RQ4 표현 $\pi$가 $H$에 대해 비-애먼블리티이지만 그 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$가 애먼블리티일 수 있는가?
• RQ5 비-애먼블리티 환경에서 표현의 점점 증가하는 불변성과 유도 표현의 애먼블리티 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 동차 공간 $G/F$는 Eymard–Greenleaf 애먼블리티를 갖는다. 이는 큰 $n$에 대해 $F_\infty$의 유한 부분집합들이 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$ 위에서 점점 더 자명하게 작용하기 때문에, quasi-regular 표현 $\lambda_{G/F}$가 거의 불변 벡터를 갖기 때문이다.
• $H/F$는 자유군과 동형이므로 비-애먼블리티이며, 이는 Eymard의 질문에 대한 반례를 제공한다.
• 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\lambda_{H/F}) = \lambda_{G/F}$는 $\lambda_{H/F}$가 비-애먼블리티임에도 불구하고 애먼블리티이다. 이는 Bekka의 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다.
• $G = \mathrm{SL}(n,\mathbb{R})$, $H = \mathrm{SL}(n,\mathbb{Z})$, 그리고 $H$의 비자명한 유한차원 단위 표현 $\pi$에 대해, $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$는 $\pi$와 $G/H$가 모두 애먼블리티임에도 불구하고 비-애먼블리티이다.
• 유도 표현 $\mathrm{ind}_H^G(\pi)$는 비자명한 불변 벡터를 갖지 않으며, $G$의 성질 (T)로 인해 애먼블리티일 수 없으므로, Bekka의 세 번째 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다.
• 비-애먼블리티인 $F_\infty$-모듈 $\ell^2(F_\infty / \Gamma_n)$의 직교 합이 유한 부분집합의 점진적 불변성으로 인해 애먼블리티가 되며, 이는 국소적 애먼블리티와 전역적 애먼블리티 사이의 비자명한 상호작용을 보여준다.