[논문 리뷰] On some zeta-integrals for unramified representations of GSp(4)

David Loeffler|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 GSp(4)의 무분할 표현과 두 개의 GL₂ 표현의 텐서곱에 대한 zeta-적분을 계산하며, Shintani 함수를 사용하여 대각 GL₂×GL₂ 작용에 관하여 불변인 삼선형 형식을 평가한다. 주요 결과는 L-함수의 오일러 인자에 대한 명시적 공식을 제공하는 것으로, 이는 GSp(4)×GL₂×GL₂ 상의 자동형 형태와 관련된 Galois 표현의 산술 연구에 필수적이다.

ABSTRACT

This article is a companion to several works of the author and others on the arithmetic of automorphic forms for GSp(4), and their associated L-functions and Galois representations. These works require, at various points, an input from smooth representation theory over p-adic local fields: the computation of values of the unique trilinear form on an unramified representation of GSp(4) x GL(2) x GL(2) invariant under the diagonal GL(2) x GL(2), for various different input data. In this note, we carry out these local computations, using a general formula for Shintani functions due to Gejima.

연구 동기 및 목표

• 대각 GL₂×GL₂ 작용에 관하여 불변인 GSp(4)×GL₂×GL₂의 무분할 표현에서 유일한 삼선형 형식의 값을 계산한다.
• GSp(4) 및 그 GL₂와의 곱에서 자동형 형태의 전역 산술 연구에 필요한, zeta-적분의 명시적 국소 계산을 제공한다.
• 자동형 형태에 관련된 모티빅 및 Galois 표현의 맥락에서 L-함수의 명시적 오일러 인자 표현을 유도한다.
• 무분할 자리에서 정확한 정규화와 zeta-적분의 평가를 제공하여 Q 위에서 자동형 표현의 산술을 지원한다.
• Gejima의 Shintani 함수에 대한 일반 공식을 사용하여 이전 연구들([LZ20a, LZ20b, LZ21])의 정규화 인자를 보완하고 수정한다.

제안 방법

• Gejima가 제안한 Shintani 함수에 대한 일반 공식을 사용하여 무분할 설정에서 zeta-적분을 계산한다.
• Moeglin–Waldspurger의 다중도 1 결과를 적용하여 삼선형 형식의 공간이 최대 일차원임을 보장한다.
• Kato–Murase–Sugano 정리를 활용하여 모든 표현이 무분할일 경우 삼선형 형식의 공간이 정확히 일차원임을 확인한다.
• zeta-적분 공식에 매개변수(고유값, 중심 문자, p진 매개변수)를 명시적으로 대입하여 오일러 인자를 추출한다.
• GSp(4)×GL₂ 및 GSp(4)×GL₂×GL₂ 설정에 맞게 매개변수를 재표기하여 코homological 및 모티빅 L-값과 일치시킨다.
• 이전 연구에서의 정규화 인자를, 특히 $K_{H, riangle}(p)$와 같은 컴acts부분군의 지수와 연결하여 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대각 GL₂×GL₂ 작용에 관하여 불변이며 중심 문자가 자명한 GSp(4)×GL₂×GL₂의 무분할 표현에 대한 zeta-적분의 명시적 값은 무엇인가?
• RQ2 대각 GL₂×GL₂ 작용 하에서 국소 삼선형 형식으로부터 관련 L-함수의 오일러 인자는 어떻게 도출되는가?
• RQ3 모티빅 및 에탈 코homology 구성과의 호환성을 보장하기 위해 삼선형 형식의 정확한 정규화는 무엇인가?
• RQ4 일반적인 경우에서 p에서의 프로베누스 고유값은 zeta-적분의 출력 값의 값매김과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 매개변수의 치환(예: α, β, γ, δ)은 GSp(4)×GL₂×GL₂ 설정에서 중심 L-값을 어떻게 표현하는가?

주요 결과

• 무분할 삼중체 $(\rho_{\text{GSp}} \times \rho_{\text{GL}_2} \times \rho_{\text{GL}_2})$에 대한 zeta-적분은 $p$, $\rho$, 그리고 중심 문자에 대한 유리함수로 주어진 여섯 개의 오일러 인자의 곱으로 평가된다.
• GSp(4)×GL₂의 경우, zeta-적분은 오일러 인자 $\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)} \prod_{i=1}^6 \left(1 - \frac{\lambda_i}{p^{\text{val}}}\right)$를 도출하며, 여기서 $\lambda_i$는 Satake 매개변수와 중심 문자의 조합이다.
• GSp(4)×GL₂×GL₂ 설정에서는 zeta-적분이 오일러 인자 $\frac{1}{p^5(p+1)(p-1)^2} \prod_{\lambda \in S} \left(1 - \frac{\lambda}{p^{2+q}}\right) \cdot \prod_{\mu \in T} \left(1 - \frac{p^{1+q}}{\mu}\right)$를 생성하며, $S$와 $T$는 Satake 매개변수의 집합이다.
• 정규화 인자 $\frac{p^3}{(p+1)^2(p-1)}$는 $K_{H,\triangle}(p)$ 부분군의 지수와 일관되며, 이는 이전 연구에서 생략된 점을 수정한다.
• 값매김이 $\leq 1+q$인 프로베누스 고유값은 zeta-적분의 분자에 나타나는 세 항 $\alpha\mathfrak{a}_2, \alpha\mathfrak{b}_2, \beta\mathfrak{a}_2$와 정확히 일치한다.
• 결과는 중심 L-값 $L(V_{\Pi} \otimes V_{\Sigma_1} \otimes V_{\Sigma_2}, 1+h)$를 계산하는 데 응용되며, 여기서 $h = \frac{r_1 + r_2 + t_1 + t_2 + 4}{2}$이며, [LZ20b]의 정리 8.2.5와 일치한다.