[논문 리뷰] P-adic L-functions and diagonal cycles for GSp(4) x GL(2) x GL(2)

David Loeffler, Sarah Livia Zerbes|arXiv (Cornell University)|2020. 11. 30.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 GSp(4) × GL(2) × GL(2) 위의 자동형 양식에 대한 p진 L함수의 추측적 이론을 제안하며, 중심 L값의 제곱근을 보간하고, 대각 사이클을 통해 갈루아 코hom올로지 계열과 기하학적 연결을 맺는다. 주요 기여는 이러한 p진 L함수와 p진 조건자 사상 아래 대각 사이클의 상을 연결하는 추측적 명시적 상호법칙을 제시하는 것으로, Darmon과 Rotger의 GL₂×GL₂×GL₂ 삼중곱에 대한 작업을 일반화한다.

ABSTRACT

We develop a (largely conjectural) theory of p-adic L-functions interpolating square roots of central L-values for automorphic forms on GSp(4) x GL(2) x GL(2), and a relation between these p-adic L-functions and families of Galois cohomology classes interpolating algebraic cycles. Our theory is a generalisation of the theory of "diagonal cycles" developed by Darmon and Rotger for the GL(2) triple product.

연구 동기 및 목표

• GL₂×GL₂×GL₂에서의 대각 사이클과 p진 L함수 이론을 GSp(4)×GL(2)×GL(2)로 확장하여 Darmon과 Rotger의 프레임워크를 일반화한다.
• GSp(4)×GL(2)×GL(2) 위의 자동형 양식에 대해 중심 L값의 제곱근을 보간하는 p진 L함수를 다양한 무게 영역에서 구성한다.
• 이러한 p진 L함수와 대각 사이클에서 유래하는 갈루아 코호몰로지 계열을 연결하는 명시적 상호법칙을 제안하고 추측한다.
• 높은 랭크 설정에서의 Birch–Swinnerton-Dyer 추측과 관련된 L함수 특수값을 위한 기하학적 및 산술적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 저자들은 두 가지 다른 무게 영역 (f) GSp(4) 지배적 영역과 (e) 균형 잡힌 무게 영역에서 p진 L함수를 정의하며, 중심 L값의 제곱근을 보간하는 방식을 사용한다.
• Kuga–Sato 다양체 위의 대각 사이클을 통해 갈루아 코호몰로지 계열의 가족을 구성하고, 3차원 히다 가족 매개변수 공간 전반에 걸쳐 대수적 사이클을 보간한다.
• 이론은 코호몰로지 계열과 p진 L함수를 연결하기 위해 Perrin-Riou 조건자 사상에 의존하며, GL₂×GL₂×GL₂ 상호법칙을 확장한다.
• 핵심 구성 요소로는 Iwasawa 대수의 분수체에 값을 취하는 de Rham 코호몰로지의 쌍대공간에서의 표준 평가 사상이 있으며, 이는 고전적 특수값을 보간한다.
• GSp(4)와 GL(2)의 히다 가족을 사용하며, 기저 교체와 쌍대성 기법을 통해 코호몰로지와 L함수 보간을 연결한다.
• 명시적 상호법칙은 다음과 같은 사슬 맵을 통해 추측된다: 세일머 복합체 → p진 Hodge 코호몰로지 → de Rham 모듈 → 평가 사상으로, p진 L함수와 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 GSp(4)×GL(2)×GL(2) 위의 자동형 양식에 대해 중심 L값의 제곱근을 보간하는 p진 L함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 L함수의 기하학적 및 코호몰로지적 해석은 대수적 사이클과 갈루아 코호몰로지 측면에서 어떻게 이루어지는가?
• RQ3 명시적 상호법칙은 p진 조건자 사상 아래 대각 사이클의 상과 다양한 무게 영역에서의 p진 L함수를 어떻게 연결하는가?
• RQ4 기술적 과제가 높은 랭크 자동형 양식에서 존재하는 바, 임계점의 유한 집합에서의 코어스피널 히다 가족의 경우 상호법칙을 증명할 수 있는가?
• RQ5 변형 기법과 고차 히다 이론은 임계점 이외의 영역에서 전체 상호법칙을 확립하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 세 개의 p진 L함수를 구성하였으며, 각각 GSp(4)의 지배적 무게 영역 (f), GL(2)₁의 (g), GL(2)₂의 (h)에서 중심 L값의 제곱근을 보간한다.
• 대각 사이클에서 유래하는 갈루아 코호몰로지 계열의 가족을 구성하였으며, 중심 L값이 존재하지 않는 균형 영역 (e)에서도 보간 가능하다는 것을 보였다.
• 명시적 상호법칙은 다음과 같이 추측된다: p진 조건자 사상 아래 대각 사이클 계열의 상은 인접한 영역에서 p진 L함수와 일치한다. 특히 Δ(Π×G, (e))는 L_p(Π×G, (f))로 매핑된다.
• 유한 개의 임계점(φ ∈ X_e^cris)에서 추측이 검증되었으며, 이는 상호법칙에 대한 강력한 증거를 제공한다.
• 저자들은 다변수 p진 L함수와 고차 히다 이론을 활용한 향후 증명 전략을 제안하였지만, 현재 방법은 유한 개의 점에 국한되어 있다.