[논문 리뷰] On strong solutions of Itô's equations with a$\,\in W^{1}_{d}$ and b$\,\in L_{d}$

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 12.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 균일한 비퇴화 조건 하에 확산 계수 $\sigma$가 Sobolev 공간 $W^{1}_{d,{\rm loc}}$에 속하고 비율 계수 $b$가 $L_d$에 속할 때, 다차원 Itô 확률미분방정식에 대해 강한 해의 존재성과 유일성을 확립한다. 해들은 임의의 지수 $<1$에 대해 초기 조건에 대해 허더 연속성을 띠며, Yamada-Watanabe 또는 Zvonkin 유형의 변환을 회피하는 새로운 분석 기준을 사용하여 계수 근사에 따른 해의 수렴성을 증명한다.

ABSTRACT

We consider Itô uniformly nondegenerate equations with time independent coefficients, the diffusion coefficient in $W^{1}_{d,loc}$, and the drift in $L_{d}$. We prove the unique strong solvability for any starting point and prove that as a function of the starting point the solutions are Hölder continuous with any exponent $&lt;1$. We also prove that if we are given a sequence of coefficients converging in an appropriate sense to the original ones, then the solutions of approximating equations converge to the solution of the original one.

연구 동기 및 목표

• 시간 동질적인 Itô SDE에 대해 $\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ 및 $b \in L_d$ 조건 하에 강한 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해가 임의의 지수 $<1$에 대해 초기 조건에 대해 허더 연속성이 되는 것을 증명한다.
• 적절한 위상에서 계수 근사에 따른 해의 수렴성을 보여준다.
• Yamada-Watanabe 또는 소음 변환 기법을 회피하는 새로운 분석적 방법을 개발하여 강한 해 존재성을 증명한다.

제안 방법

• Krylov(2007)에서 처음 제안된 강한 해 존재를 위한 분석 기준을 사용한다. 이는 사전 추정과 전이 밀도의 정칙성에 기반한다.
• 해의 초기 데이터에 대한 도함수에 대한 사전 추정을 도함수 과정 $\xi_t(x,\eta)$를 통해 수행한다.
• Kolmogorov 연속성 정리의 버전을 적용하여 초기 조건에 대한 해 경로의 허더 연속성을 도출한다.
• $\sigma$의 기울기의 $L_d$-노름과 $b$의 $L_d$-노름을 사용하여 모멘트와 도함수의 성장률을 제어한다.
• Fatou의 보조정리와 매끄러운 계수로의 근사를 통해 매끄러운 경우의 결과를 일반적인 $W^{1}_d \times L_d$ 설정으로 확장한다.
• [11]의 모멘트 추정과 Itô 과정에 대한 최대부등식의 버전을 이용하여 초노름에서의 수렴을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SDE (1.1)가 유일한 강한 해를 갖기 위한 $\sigma$와 $b$에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 $\sigma \in W^{1}_d$ 및 $b \in L_d$일 때, 초기 조건에 대한 해의 허더 연속성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 $L_d$에서 계수 수열의 수렴이 초노름에서 해당 해의 수렴을 이끌어내는가?
• RQ4 Yamada-Watanabe 정리 또는 Zvonkin 유형의 변환 기법에 의존하지 않고 강해 존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 균일한 비퇴화 조건 하에 $\sigma \in W^{1}_{d,{\rm loc}}$ 및 $b \in L_d$일 때, 임의의 시작점 $x_0 \in \mathbb{R}^d$에 대해 SDE (1.1)은 유일한 강한 해를 가진다.
• 해들은 임의의 지수 $\alpha < 1$에 대해 초기 조건에 대해 허더 연속성을 띤다.
• $\kappa > 2d$이면, 차이 $|x_t(x) - x_t(y)|$의 $\kappa$-번째 모멘트는 $N|x-y|^{\kappa - 2d}$로 유계이다. 이는 허더 연속성을 의미한다.
• 계수 수열 $\sigma^{k}(n) \to \sigma^k$ 및 $b(n) \to b$가 $L_d$에서 수렴하면, 해 $x_t(n,x(n))$는 $L^1$-초노름에서 $x_t$로 수렴한다.
• 큰 $\rho$에 대해 수렴 속도는 $\rho$에 대해 지수적이다. $\mathbb{P}(|x_t(x)| \geq \rho) \leq Ne^{-\mu \rho^2}$이다.
• 이 방법은 Yamada-Watanabe 및 Zvonkin 유형의 접근법을 피하며, 대신 새로운 분석 기준과 모멘트 추정에 의존한다.