[논문 리뷰] On Symmetric Gauss-Seidel ADMM Algorithm for $\mathcal{H}_\infty$ Guaranteed Cost Control with Convex Parameterization

Jun Ma, Zilong Cheng외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 03.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 53인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매개변수 불확실성이 있는 상황에서 $χ_\infty$ 보장 비용 제어 문제를 해결하기 위해 대칭 가우스-자이델 ADMM 알고리즘을 제안한다. 유오라-쿠체라 변형을 통한 볼록 매개변수화와 슈어 보완 재구성 기법을 활용하여 문제를 볼록 최적화 과제로 변환함으로써, 강력한 수렴 보장과 뛰어난 성능을 갖는 대규모 계산을 효율적으로 수행할 수 있다.

ABSTRACT

This paper involves the innovative development of a symmetric Gauss-Seidel ADMM algorithm to solve the H-infinity guaranteed cost control problem. In the presence of parametric uncertainties, the H-infinity guaranteed cost control problem generally leads to the large-scale optimization. This is due to the exponential growth of the number of the extreme systems involved with respect to the number of parametric uncertainties. In this work, through a variant of the Youla-Kucera parameterization, the stabilizing controllers are parameterized in a convex set; yielding the outcome that the H-infinity guaranteed cost control problem is converted to a convex optimization problem. Based on an appropriate re-formulation using the Schur complement, it then renders possible the use of the ADMM algorithm with symmetric Gauss-Seidel backward and forward sweeps. Significantly, this approach alleviates the often-times prohibitively heavy computational burden typical in many H-infinity optimization problems while exhibiting good convergence guarantees, which is particularly essential for the related large-scale optimization procedures involved. With this approach, the desired robust stability is ensured, and the disturbance attenuation is maintained at the minimum level in the presence of parametric uncertainties. Rather importantly too, with the attained effectiveness, the methodology thus evidently possesses extensive applicability in various important controller synthesis problems, such as decentralized control, sparse control, and output feedback control problems.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 불확실성이 존재하는 시스템에서 $χ_\infty$ 보장 비용 제어의 높은 계산 부담을 해결한다.
• 대규모 최적화에서 리카티 기반 방법과 비선형 해소기법의 한계를 극복한다.
• 불확실성 하에 강건한 제어기 합성에 대해 수치적으로 안정적이고 확장 가능한 알고리즘을 개발한다.
• 볼록 매개변수화를 통해 분산형, 희소형, 출력 피드백 제어 문제에의 적용을 가능하게 한다.
• 모든 극한 시스템에서 강건 안정성을 유지하면서 최소한의 간섭 감쇠를 확보한다.

제안 방법

• 안정화 제어기를 볼록 집합 내에 표현하기 위해 유오라-쿠체라 매개변수화의 변형을 활용한다.
• $χ_\infty$ 제어 문제를 슈어 보완을 이용해 재구성하여 이차형 매트릭스 부등식을 볼록 제약 조건으로 전환한다.
• 향상된 수렴성을 확보하기 위해 교차 전진 및 후진 스weep을 적용한 대칭 가우스-자이델 ADMM 알고리즘을 적용한다.
• 대규모 최적화 과제를 ADMM 반복마다 더 작은, 명시적으로 해결 가능한 부분 문제로 분해한다.
• 비선형 제약 조건의 외부 근사화를 위해 컷팅 플레인 방법을 활용하며, 반복적으로 가능 영역을 정밀화한다.
• 대규모 인스턴스에서 계산 비용이 과도한 해소기기(Gurobi, SCS 등)에 의존하지 않도록 ADMM 프레임워크를 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 가우스-자이델 ADMM 프레임워크는 매개변수 불확실성이 있는 대규모 $χ_\infty$ 보장 비용 제어 문제를 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 유오라-쿠체라 변형을 통한 볼록 매개변수화가 수치적 안정성과 계산 가능성에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 ADMM 기반 접근법은 기존의 리카티 또는 컷팅 플레인 방법 대비 계산 부담을 어느 정도 감소시키는가?
• RQ4 이 방법은 불확실 영역 내 모든 극한 시스템에서 강건 안정성과 최소 간섭 감쇠를 보장할 수 있는가?
• RQ5 매개변수 불확실성 하에서 제안된 제어기의 성능은 표준 LQR와 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 제안된 대칭 가우스-자이델 ADMM 알고리즘은 대규모 $χ_\infty$ 제어 문제에 대해 강력한 수렴 보장을 확보하고 계산 비용을 크게 감소시킨다.
• 볼록 매개변수화를 활용함으로써 모든 안정화 제어기가 볼록 집합 내에 포함되어 효율적인 최적화가 가능해진다.
• 알고리즘은 모든 극한 시스템에서 $χ_\infty$ 성능의 상한을 성공적으로 최소화하여 최소 간섭 감쇠 수준을 달성한다.
• 예제 2의 시뮬레이션 결과는 제안된 제어기(점선)가 LQR 기준선(실선)보다 매개변수 불확실성 하에서도 뛰어난 시스템 응답을 보임을 보여준다.
• 이중성 갭이 반복 과정 동안 일관되게 감소함으로써 ADMM 기반 해법의 수렴성과 수치적 신뢰성을 확인한다.
• 볼록하고 구조화된 공식화 덕분에 이 방법은 분산형, 희소형, 출력 피드백 제어 문제 등 더 넓은 제어 문제 적용에 유용하다.