[논문 리뷰] On Tamed Euler Approximations of SDEs Driven by Lévy Noise with Applications to Delay Equations

Konstantinos Dareiotis, Chaman Kumar외 1명|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|2014. 03. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초선형 성장하는 비율 계수를 가진 레비 소음에 의해 구동되는 확률미분방정식(SDEs)을 위한 테임드 오일러 스킴을 제안한다. 이는 점프를 다룰 수 있도록 기존의 테임딩 기법을 확장한 것으로, 국소 리프시츠 조건 하에서 강한 $\mathcal{L}^q$ 수렴을 확립하고, 전역 및 다항 리프시츠 가정 하에서 수렴 속도 결과를 제공한다. 또한 비마르코프성과 지연된 역학을 가진 확률지연미분방정식(SDDEs)으로 이 프레임워크를 확장한다.

ABSTRACT

We extend the taming techniques for explicit Euler approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Lévy noise with super-linearly growing drift coefficients. Strong convergence results are presented for the case of locally Lipschitz coefficients. Moreover, rate of convergence results are obtained in agreement with classical literature when the local Lipschitz continuity assumptions are replaced by global and, in addition, the drift coefficients satisfy polynomial Lipschitz continuity. Finally, we further extend these techniques to the case of delay equations.

연구 동기 및 목표

• 레비 소음에 의해 구동되는 SDEs에서 비율 계수가 초선형적으로 성장할 경우 기존의 명시적 오일러 스킴이 수렴하지 못하는 문제를 해결한다.
• 이전에 확산 SDEs에 사용된 테임딩 기법을 레비 소음에 의해 구동되는 SDEs로 확장하여, 이러한 방정식의 수치적 근사를 가능하게 한다.
• 국소 리프시츠 계수를 가진 SDEs에 대해 $\mathcal{L}^q$ 노름에서 강한 수렴성을 확립하고, 전역 및 다항 리프시츠 조건 하에서 수렴 속도를 유도한다.
• 레비 소음에 의해 구동되며 비율 계수가 비지연 및 지연된 변수에서 모두 초선형적으로 성장하는 확률지연미분방정식(SDDEs)으로 테임드 오일러 프레임워크를 확장한다.
• 비지연된 변수에 대해서만 완화된 국소 리프시츠 조건을 가정할 때 SDDEs의 존재성과 유일성을 보장한다. 이는 기존 문헌을 향상시킨다.

제안 방법

• 폭발적 성장을 방지하기 위해 비율 계수를 수정하는 테임딩 함수를 도입하여 안정적인 수치적 스킴을 확보함으로써 테임드 오일러 스킴을 개발한다.
• 레비 소음에 의해 구동되는 SDEs에 [21]의 테임딩 기법을 적용하며, 비율 계수의 노름 역수에 기반한 절단 메커니즘을 사용한다.
• 시간 간격 동안 해 과정의 조각별 상수 근사를 사용하며, 이전 단계 상태에 의존하는 테임드 비율 항을 포함한다.
• 모멘트 한계와 그론발 유형 부등식을 이용하여 시간 간격에 걸친 재귀적 추론을 통해 수렴성을 증명한다.
• 지연 방정식을 랜덤 계수 SDEs로 연결하는 [7]의 접근법을 활용하여, 테임드 스킴을 SDDEs로 확장한다.
• 횔더 부등식, 모멘트 추정 및 귀납적 추론을 사용하여 진짜 해와 테임드 스킴 사이의 오차를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 오일러 스킴이 수렴하지 못하는 상황에서, 레비 소음에 의해 구동되며 비율 계수가 초선형적으로 성장하는 SDEs에 대해 테임드 오일러 스킴을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 레비 소음이 있는 SDEs에서 테임드 오일러 스킴의 강한 $\mathcal{L}^q$ 수렴을 보장하기 위해 비율, 분산, 점프 계수에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 비율 계수에 전역 및 다항 리프시츠 조건을 적용했을 때, 테임드 오일러 스킴의 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ4 점프와 비지연 및 지연된 성분에서의 초선형 비율 계수를 가진 확률지연미분방정식(SDDEs)에 대해 테임딩 프레임워크를 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 특히 비지연된 변수에서만 국소 리프시츠 연속성 조건을 가정할 때, 레비 소음이 있는 SDDEs의 해가 존재하고 유일하게 정의되는가?

주요 결과

• 레비 소음이 있는 SDEs에 대해, 비율, 분산 및 점프 계수에 대해 한쪽 방향 국소 리프시츠 조건과 국소 리프시츠 조건이 만족될 경우, 테임드 오일러 스킴은 강한 $\mathcal{L}^q$ 수렴을 달성한다.
• 전역 리프시츠 및 다항 리프시츠 비율 계수를 가진 경우, 스킴은 $\mathcal{L}^q$ 노름에서 순서 $O(n^{-1/2})$의 수렴 속도를 확보하며, 이는 고전 결과와 일치한다.
• 비지연 및 지연된 변수에서 비율 계수가 초선형적으로 성장하는 SDDEs로 방법을 확장하였으며, 비율, 분산 및 점프 계수에 대해 한쪽 방향 리프시츠 및 다항 리프시츠 조건을 만족한다.
• SDDEs의 수렴 속도는 비율, 분산 및 점프 계수에 대해 전역 및 다항 리프시츠 가정 하에서 $O(n^{-1/2})$이다.
• 논문은 비지연된 변수에서만 국소 리프시츠 연속성을 가정할 때 SDDEs의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. 지연된 변수는 연속성만 요구된다.
• 수치 실험 결과 이론적 수렴 속도를 확인한다: SDE (78)의 경우 $\mathcal{L}^2$ 오차는 스텝 크기 $h = 2^{-k}$ 에 따라 약 $O(n^{-1/2})$로 감소하며, SDDE (79)의 경우 유사한 행동이 관찰된다.