[논문 리뷰] On temporal entropy and the complexity of computing the expectation value of local operators after a quench

Stefano Carignano, Carlos Ramos Marimón외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 21.

Quantum many-body systems참고 문헌 46인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 퀸치 이후 1차원 양자 시스템에서 시간에 따라 변하는 행렬 제품 상태(tMPS) 복잡도와 연산자 얽힘 사이의 이론적 연결을 수립한다. tMPS의 결합 차원—로컬 연산자의 시간에 따른 기대값을 시뮬레이션하는 데 핵심적인 요소—가 헤이젠베르크 그림에서의 연산자 얽힘에 의해 상한으로 제한됨을 보여주며, 이는 통합 가능한 시스템에서는 다항식 스케일링, 비통합 가능한 시스템에서는 지수 스케일링을 의미한다.

ABSTRACT

We study the computational complexity of simulating the time-dependent expectation value of a local operator in a one-dimensional quantum system by using temporal matrix product states. We argue that such cost is intimately related to that of encoding temporal transition matrices and their partial traces. In particular, we show that we can upper-bound the rank of these reduced transition matrices by the one of the Heisenberg evolution of local operators, thus making connection between two apparently different quantities, the temporal entanglement and the local operator entanglement. As a result, whenever the local operator entanglement grows slower than linearly in time, we show that computing time-dependent expectation values of local operators using temporal matrix product states is likely advantageous with respect to computing the same quantities using standard matrix product states techniques.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 로컬 연산자의 기대값을 시뮬레이션하는 데 시간에 따라 변하는 행렬 제품 상태(tMPS)를 사용할 때의 계산 비용을 이해하기 위해.
• 비평형 역학에서 표준 행렬 제품 상태(MPS) 기법에 비해 tMPS가 계산적으로 효율적인 대체 방법이 되는 조건을 규명하기 위해.
• 시간에 따라 변하는 tMPS의 얽힘과 헤이젠베르크 그림에서의 연산자 얽힘 사이의 이론적 연결을 수립하기 위해.
• 연산자 얽힘의 증가가 tMPS의 결합 차원 스케일링과 어떻게 관련되어 있으며, 이로 인해 효율적인 시뮬레이션의 가능성이 예측될 수 있는지 규명하기 위해.

제안 방법

• Bañuls 등 이전 연구에 기반한 수정된 tMPS 알고리즘을 수식적으로 정의하며, 시스템의 영향 행렬을 캐리어하는 켈디시 경로를 사용한다.
• 로컬 관측량의 진화를 기록하는 감소 전이 행렬(RTMs)을 도입하며, 이들의 질량과 헤이젠베르크로 진화된 연산자의 연산자 얽힘을 연결한다.
• RTMs의 특이값 분해(SVD)를 통해 tMPS를 잘라내며, 충실도 기반 오차 제어를 통해 필요한 결합 차원을 결정한다.
• tMPS의 결합 차원 스케일링을 연산자 얽힘과 비교하여, 첫 번째가 두 번째에 의해 상한으로 제한됨을 보여준다.
• 통합 가능한 및 비통합 가능한 스핀 체인에 대한 수치 시뮬레이션을 수행하여 이론적 상한을 검증하며, 충실도 임계값을 사용해 효과적 결합 차원을 추출한다.
• 고정된 잘라내기 오차 $ \epsilon $ 를 유지하기 위해 필요한 결합 차원 $ D^* $ 의 스케일링을 분석하며, 이와 헤이젠베르크 진화에서의 연산자 얽힘 스케일링을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 tMPS를 통한 시간에 따라 변하는 로컬 관측량의 시뮬레이션 계산 비용이 헤이젠베르크로 진화된 연산자의 얽힘 성질에 의해 상한으로 제한될 수 있는가?
• RQ2 tMPS가 비평형 역학에서 표준 MPS 기법에 비해 다항식 스케일링 이점을 제공하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 연산자 얽힘의 증가와 로컬 관측량의 시간 진화에서 tMPS의 필요 결합 차원 사이의 관계는 어떠한가?
• RQ4 시간에 따라 변하는 tMPS의 얽힘과 헤이젠베르크 그림에서의 연산자 얽힘 사이에 체계적인 연결 고리가 존재하는가? 이는 수치적으로 작은 tMPS 결합 차원 관측 결과를 설명할 수 있는가?
• RQ5 이론적 상한이 실제 모델에서 달성될 수 있으며, 이는 통합 가능한 및 비통합 가능한 시스템의 수치 결과와 일치하는가?

주요 결과

• tMPS의 결합 차원은 헤이젠베르크로 진화된 연산자의 질량에 의해 상한으로 제한되며, 이는 tMPS 복잡도와 연산자 얽힘 사이의 직접적인 이론적 연결을 수립한다.
• 통합 가능한 시스템에서는 연산자 얽힘이 로그 스케일로 증가하므로, tMPS의 결합 차원은 시간에 대해 다항식 스케일링을 보이며, 이는 효율적인 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 비통합 가능한 시스템에서는 연산자 얽힘이 선형으로 증가하므로, tMPS의 결합 차원은 지수 스케일링을 보이며, 이는 표준 tMPS 방법으로는 시뮬레이션을 수행하기 어려움을 의미한다.
• 수치 결과는 고정된 충실도 임계값을 유지할 때 필요한 tMPS의 결합 차원 $ D^* $ 가 연산자 얽힘의 결합 차원과 동일한 방식으로 스케일링됨을 확인한다.
• tMPS 시뮬레이션에서 고정된 오차를 달성하기 위해 필요한 결합 차원의 스케일링은, 연산자의 헤이젠베르크 진화를 일정한 오차로 시뮬레이션하기 위해 필요한 스케일링과 일치한다.
• 특정 경우에서 이 상한이 달성되며, 이는 이론적 한계가 단순한 추정이 아니라 날카롭고 정확한 상한임을 나타낸다.