[논문 리뷰] On the 2-part of the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for quadratic twists of elliptic curves

Li Cai, Chao Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 해석적 랭크 0인 유리 타원곡선의 무한한 가 families의 2차 스트레칭이 존재함을 증명하고, 이러한 스트레칭에 대해 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측의 2-부분을 증명한다. 2-진 평가를 모듈러 기호와 새로운 정수성 추론을 사용하여 분석함으로써, 저자들은 이러한 스트레칭에서 타테-샤파레비치 군의 2-주된 성분이 자명하다는 것을 보이며, 이는 이후 Xin Wan이 비-정수 타원곡선에 대해 무한히 많은 경우에 대해 전체 Birch–Swinnerton-Dyer 추측을 증명하는 데 기여한다.

ABSTRACT

In the present paper, we prove, for a large class of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$, the existence of an explicit infinite family of quadratic twists with analytic rank $0$. In addition, we establish the $2$-part of the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for many of these infinite families of quadratic twists. Recently, Xin Wan has used our results to prove for the first time the full Birch--Swinnerton-Dyer conjecture for some explicit infinite families of elliptic curves defined over $\mathbb{Q}$ without complex multiplication.

연구 동기 및 목표

• 유리수 위에서 해석적 랭크 0인 타원곡선의 명시적 무한한 가 families를 구성하는 것.
• 특히 타테–샤파레비치 군의 2-주된 성분이 자명한 경우에 이러한 스트레칭에 대해 Birch와 Swinnerton-Dyer 추측의 2-부분을 확립하는 것.
• 기존의 깊은 p-진 기법 대신 고전적 모듈러 기호 방법을 사용하여 p=2에서 이와사와 이론의 기술적 장애물을 극복하는 것.
• 이전의 소수 스트레칭 결과를 복합 판별식으로 일반화하여, 이전의 귀납법 기반 추론의 범위를 초월하는 것.
• 나중에 Xin Wan에 의해 비-정수 타원곡선에 대해 무한히 많은 경우에 대해 전체 Birch–Swinnerton-Dyer 추측을 증명하는 데 기초가 되는 기초 자료를 제공하는 것.

제안 방법

• 모듈러 기호 이론을 사용하여 유리수 위의 최적 타원곡선 $ E $의 2차 스트레칭 $ E^{(M)} $에 대해 대수적 L값 $ L^{(alg)}(E^{(M)},1) $의 2-진 평가를 계산한다.
• 소수 $ q \neq 2 $ 중에서 $ q \to 1 \bmod 4 $, $ q \nmid C $, 그리고 $ \text{ord}_2(N_q) = 1 $인 조건을 만족하는 소수의 집합 $ \fS $를 정의하여, 2-분할 분야에서 적절한 분할 행동을 확보한다.
• 복합 판별식 $ M = q_1 \times \times q_r $ 에서 고전적 귀납법의 실패를 극복하기 위해 새로운 정수성 추론을 적용하여 귀납법이 작동하도록 한다.
• 특히 $ E(\bbQ)[2] \to \bbZ/2\bbZ $ 이고 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1 $ 이므로, $ \fS $ 에서의 $ r $ 개의 소수의 제곱무리수 곱인 $ M $ 에 대해 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 $ 임을 유도한다.
• 레귤러터의 2-진 평가가 0이고, 타마가와 곱의 2-진 평가가 $ r $ 이므로, 대수적 L값의 2-진 평가가 기대되는 2-부분과 일치함을 보여, BSD 공식의 2-부분을 검증한다.
• 해석적 랭크 $ r_{\text{an}} = 0 $ 이므로, Gross–Zagier 및 Kolyvagin 정리에 의해 $ E^{(M)}(\bbQ) $ 와 $ \text{Sha}(E^{(M)}) $ 가 유한하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해석적 랭크 0인 유리 타원곡선의 무한한 가 families를 구성할 수 있는가?
• RQ2 그러한 스트레칭에 대해, 대수적 L값의 2-진 평가와 관련하여 Birch–Swinnerton-Dyer 추측의 2-부분이 성립하는가?
• RQ3 곡선이 유리 2-토르션을 가질 경우, 이전의 소수 스트레칭 결과에서 사용된 귀납법이 복합 판별식으로 확장될 수 있는가?
• RQ4 이와사와 이론에서 $ p=2 $일 때 표준 기법이 실패하는 상황을 극복하기 위해 고전적 모듈러 기호 기법을 사용할 수 있는가?
• RQ5 이러한 결과들을 깊이 있는 이와사와 이론적 도구와 결합하여, 무한히 많은 비-정수 타원곡선에 대해 전체 Birch–Swinnerton-Dyer 추측을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 해석적 랭크 0인 유리수 위의 최적 타원곡선 $ E $ 중에서 $ E(\bbQ)[2] \to \bbZ/2\bbZ $, $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E,1)) = -1 $, 그리고 홀수 맨린 상수를 가진 큰 범주에 대해, $ \fS $ 에서의 $ r $ 개의 서로 다른 소수의 곱인 $ M $ 을 사용하여 무한한 가 스트레칭 $ E^{(M)} $ 를 구성한다.
• 그러한 스트레칭에 대해 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(E^{(M)},1)) = r - 1 $ 이고, $ L(E^{(M)},1) \neq 0 $ 이므로 해석적 랭크는 0이다.
• 결과적으로, Gross–Zagier 및 Kolyvagin 정리에 의해 $ E^{(M)}(\bbQ) $ 와 $ \text{Sha}(E^{(M)}) $ 는 모두 유한하다.
• BSD 공식의 2-부분은 이러한 스트레칭에 대해 성립한다. 대수적 L값의 2-진 평가가 레귤러터, 타마가와 인자, 그리고 샤크의 2-진 평가의 합과 일치하기 때문이다.
• 명시적 예시로, $ A = 34A1 $, $ 56B1 $, $ 99C1 $, 그리고 $ 46A1 $ 에 대해, $ \bbQ(A[2]) $ 와 $ \bbQ(A'[2]) $ 에서 모두 비분할인 소수 $ q \to 1 \bmod 4 $ 의 집합 $ \fS $ 는 무한히 많으며, $ M $ 이 이러한 소수 $ r $ 개의 곱이면 $ \text{ord}_2(L^{(alg)}(A^{(M)},1)) = r - 1 $ 이다.
• 이러한 결과들은 Xin Wan이 유리수 위에서 무한히 많은 비-정수 타원곡선에 대해 전체 Birch–Swinnerton-Dyer 추측을 증명하는 데 사용되었으며, 이러한 가족에 대해 처음으로 그러한 증명을 이룩한 것이다.