[논문 리뷰] On the abundance of SRB measures

Yongluo Cao, Zeya Mi외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 편향과 갈라져 있는 구조 분석을 통해 동역학적 구조가 동형선형 다중성과 관련이 없는 $C^1$ 미분구상에 대해 시나이-르엘-보웬(SRB) 측도의 풍부성을 확립한다. 주요 결과는 $\mathrm{Diff}^1(M)$에서 임의의 미분구상이 SRB 측도를 지닌다거나 동형선형 다중성이 있거나 본질적으로 모어스-스멀 시스템인 것들로 $C^1$-근접 가능하다는 것을 보여주며, 전역 동역학에서 물리적 측도에 대한 팔리스의 추측을 뒷받침한다.

ABSTRACT

We prove the abundance of Sinai-Ruelle-Bowen measures for diffeomorphisms away from ones with a homoclinic tangency. This is motivated by conjectures of Palis on the existence of physical (Sinai-Ruelle-Bowen) measures for global dynamics. The main novelty in this paper is that we have to deeply study Gibbs $cu$-states in different levels. Note that we have to use random perturbations to give some upper bound of the level of Gibbs $cu$-states.

연구 동기 및 목표

• 다이세파티브 미분구상의 대부분이 유한 개의 물리적(SRB) 측도를 가지며, 그 기저가 전체 르베그 측도를 덮는다는 팔리스의 추측을 뒷받침하기 위해.
• 동형선형 다중성이 없는 $C^1$ 위상에서 SRB 측도의 풍부성을 확립하기 위해.
• 부분적으로 초구성 동역학에서 다중 수준의 지배성에 걸쳐 갈라져 있는 구조를 분석하여 Gibbs $cu$-상태의 구조를 연구하기 위해.
• $C^2$ 미분구상에서 중심 다중성이 일차원인 영역에 대해 SRB 측도의 존재를 증명하기 위해.

제안 방법

• 갈라져 있는 구조의 수준을 제어하고 제한하기 위해 랜덤 편향을 사용하여, 불변 측도 분석에서 상한을 도출한다.
• 지배성 분해에서 점점 더 정교한 불변 벡터 다중성의 분석을 통해 갈라져 있는 구조를 다층적으로 연구한다.
• 확장된 동역학계와 올린 측도를 사용하여 정적 측도와 불안정 다중성의 분해를 연구한다.
• 플리스 유사 보조정리를 사용하여 리아풀로프 지수에 대해 균일한 하한을 가지는 양의 조밀도 집합을 추출한다.
• 분할의 절대 연속성과 조건부 측도를 활용하여 불안정 다중성의 르베그 측도와 갈라져 있는 구조 측도 간의 관계를 규명한다.
• 페신 블록 이론과 불안정 다중성에 순응하는 가측 분할 이론을 활용하여 물리적 측도를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동형선형 다중성이 없는 $C^1$ 미분구상 공간에서 SRB 측도가 흩어져 있는가?
• RQ2 다중 수준의 지배성에서 갈라져 있는 구조를 어떻게 분석하여 SRB 측도의 존재를 보장할 수 있는가?
• RQ3 랜덤 편향은 비균일하게 초구성 동역학계에서 불변 측도의 통계적 성질을 제어하는 데 어느 정도 기여하는가?
• RQ4 중심 다중성이 일차원인 부분적으로 초구성인 영역에 대해 어떤 조건에서 SRB 측도가 존재하는가?
• RQ5 팔리스의 예측에 따르면 $\mathrm{Diff}^1(M)$에서 SRB 측도를 지닌 미분구상의 집합이 흩어져 있는가?

주요 결과

• $\mathrm{Diff}^1(M)$에서 임의의 미분구상은 $C^1$-근접하여 동형선형 다중성이 있거나, 본질적으로 모어스-스멀 시스템이거나, SRB 측도를 지닌 시스템으로 근접 가능하다.
• 동형선형 다중성이 없는 경우를 제외하고, $\mathrm{Diff}^1(M)$에서 페신 엔트로피 공식을 만족하는 측도를 지닌 $C^1$ 미분구상의 집합은 밀도를 이룬다.
• $C^2$ 미분구상에서 부분적으로 초구성인 영역과 일차원 중심 다중성이 있는 경우, 주어진 동역학 조건 하에서 SRB 측도가 존재한다.
• 불안정 다중성의 갈라져 있는 구조 측도의 분해는 르베그 측도에 대해 절대 연속적이며, 이는 물리적 측도의 구성에 기여한다.
• 랜덤 편향을 사용하면 갈라져 있는 구조 측도의 수준에 상한을 부여할 수 있으며, 이는 시스템의 통계적 행동 제어에 핵심적이다.
• 밀도 $1 - \varepsilon$에서 리아풀로프 지수에 대해 균일한 하한을 가지는 집합을 추출할 수 있는 플리스 유사 보조정리가 확립되었으며, 이는 양의 메트릭 엔트로피 측도의 존재를 뒷받침한다.