[논문 리뷰] Statistical stability of mostly expanding diffeomorphisms

Martin Andersson, Carlos H. Vásquez|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 22.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 대부분 확장성 있는 $C^r$ 미분동형사상($r > 1$)에 대해 통계적 안정성을 확립하며, 비틀림성 조건이 성립할 경우 물리적 측도가 동역학에 대해 연속적으로 변하고, 비틀림성 조건이 성립하지 않을 경우 물리적 측도의 수가 상부 준연속적으로 변함을 증명한다. 강한 부분적 비선형성과 대부분 확장성 중심 방향을 가진 맥락에서 이 결과를 가능하게 하는 핵심 도구는 새로운 플리스 유형의 보조정리와 갈라져 있는 $cu$-상태의 새로운 특성화이다.

ABSTRACT

We study how physical measures vary with the underlying dynamics in the open class of $C^r$, $r>1$, strong partially hyperbolic diffeomorphisms for which the central Lyapunov exponents of every Gibbs $u$-state is positive. If transitive, such a diffeomorphism has a unique physical measure that persists and varies continuously with the dynamics. A main ingredient in the proof is a new Pliss-like Lemma which, under the right circumstances, yields frequency of hyperbolic times close to one. Another novelty is the introduction of a new characterization of Gibbs $cu$-states. Both of these may be of independent interest. The non-transitive case is also treated: here the number of physical measures varies upper semi-continuously with the diffeomorphism, and physical measures vary continuously whenever possible.

연구 동기 및 목표

• 강한 부분적 비선형성과 중심 방향에서 대부분 확장성인 $C^r$ 미분동형사상($r > 1$)의 광범위한 클래스에 대해 통계적 안정성을 확립하는 것.
• 동역학의 소규모 $C^r$ 선회에서 물리적 측도의 수와 구조가 어떻게 변화하는지 분석하는 것.
• 물리적 측도의 수가 일정할 경우, 물리적 측도가 약한* 위상에서 연속적으로 변함을 증명하는 것.
• 특히 비선형성 시간에 대한 플리스 유형 보조정리와 갈라져 있는 $cu$-상태의 새로운 특성화를 포함한, 독립적인 관심을 가진 새로운 분석 도구를 개발하는 것.

제안 방법

• 적절한 조건 하에서 초과하는 비선형성 시간의 빈도가 1에 가까워지도록 보장하는 새로운 플리스 유형 보조정리를 도입하여, 동역학에서 강한 비선형성을 확보하는 것.
• 불변 다변량의 구조와 안정 다변량의 절대 연속성에 기반한 갈라져 있는 $cu$-상태의 새로운 특성화를 개발하는 것.
• $r > 1$ 인 $C^r$ 위상에서 대부분 확장성 조건의 개방성을 이용하여, 물리적 측도의 수가 유한하게 유지되는 이웃 영역을 구성하는 것.
• 갈라져 있는 $u$-상태 이론과 그들이 물리적 측도와 유역 영역 및 르베그 측도 성질을 통해 어떻게 관련되는지 적용하는 것.
• 지역 불안정 다변량의 체적 성장과 절대 연속성에 기반한 모순을 이용하여 물리적 측도의 수가 상부 준연속적임을 증명하는 것.
• 편성 행렬의 계수 조합에서의 계수 변환을 통해, 선회된 시스템의 물리적 측도가 원래 시스템의 물리적 측도로 수렴함을 보여 통계적 안정성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀림성 조건이 성립할 경우, 대부분 확장성 있는 $C^r$ 미분동형사상($r > 1$)의 물리적 측도는 소규모 $C^r$ 선회에서 어떻게 변화하는가?
• RQ2 비틀림성 조건이 성립하지 않을 경우, 물리적 측도의 수는 선회에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 대부분 확장성 조건 하에서 비선형성 시간의 빈도를 1에 가까이 조절할 수 있으며, 이는 통계적 안정성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 부분적 비선형성 시스템에서 물리적 측도를 연구하는 데 유용한 갈라져 있는 $cu$-상태의 새로운 특성화는 무엇인가?
• RQ5 미분동형사상에서 물리적 측도로의 사상이 약한* 위상에서 연속성을 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 비틀림성 조건이 성립하는 대부분 확장성 $C^r$ 미분동형사상($r > 1$)의 경우, 유일한 물리적 측도가 존재하며 이는 동역학에 대해 연속적으로 유지된다.
• 비틀림성 조건이 성립하지 않을 경우, 물리적 측도의 수는 미분동형사상에 대해 상부 준연속적으로 변하며, 이는 수가 감소할 수는 있지만 증가하지는 않음을 의미한다.
• 물리적 측도의 수가 유지되는 선회에서, 물리적 측도는 약한* 위상에서 연속적으로 변한다.
• 새로운 플리스 유형 보조정리가 확립되었으며, 이는 대부분 확장성 조건 하에서 비선형성 시간의 빈도를 임의로 1에 가깝게 만들 수 있음을 보여준다.
• 불안정 다변량에서 기저의 전체 임의의 체적과 안정 다변량의 절대 연속성에 기반한 갈라져 있는 $cu$-상태의 새로운 특성화가 도입되었다.
• 비틀림성 조건이 성립하는 경우, 물리적 측도는 유일하며 그 기저는 르베그 측도로 전부를 차지한다. 이는 대부분 확장성 조건의 개방성과 비틀림성 조건에 기반한다.